Gregorio Klimovsky y Guillermo Boido, Las desventuras del conocimiento matemático, a-Z editora, 2005, 330 pp.
Las desventuras del conocimiento matemático plantea los problemas
que enfrenta la matemática, aún hoy, cuando se la aborda desde un
punto de vista filosófico, y muestra cómo se la ha defendido y se la defiende
de las "amenazas de la filosofía" que surgen cuando nos preguntamos
por qué habría de creerse en las afirmaciones matemáticas, es decir, cuando
nos preocupamos por su fundamentación.
El libro presenta a la matemática actual como ocupándose de estructuras
posibles (no contradictorias) y sus propiedades, lo que implica poner
el acento principal en cuestiones lógicas. Dichas estructuras pueden apreciarse
por su belleza y abstracción, como ocurre con otros productos de la
creatividad humana, pero también por el servicio que brindan a las demás
ciencias, i.e., por sus posibilidades de aplicación. Es en este aspecto en el
que la consistencia se vuelve un requisito indispensable de esta disciplina
y es por ello el problema principal del que se ocupa la fundamentación
de la matemática: es necesario probar que la matemática es confiable y,
de ser posible, probar que no lleva a contradicción.
Serias dificultades se han presentado a lo largo del tiempo al tratar
de establecer si es posible encontrar una demostración de consistencia
absoluta para los sistemas axiomáticos sobre los que se puede edificar
la matemática. La cuestión permanece aún irresuelta pues sólo ha podido
demostrarse su consistencia relativa. En el libro de Gregorio Klimovsky
y Guillermo Boido, encontramos desarrolladas las principales dificultades
que plantea esta cuestión y las respuestas que a ellas se dieron hasta
la actualidad.
El libro tuvo origen inmediato en las discusiones acerca de la fundamentación
de la matemática que se sucedieron en un seminario privado
dictado por ambos autores, pero aborda una temática a la cual el
profesor Klimovsky dedicó gran cantidad de cursos en diferentes universidades
a lo largo de su vida.
Las desventuras presenta un recorrido que va desde los orígenes
conocidos de la matemática, en el mundo antiguo, hasta las reflexiones contemporáneas
sobre esta ciencia. Son cuatro las preguntas que los autores
consideran medulares acerca de dicha reflexión: la primera, una pregunta
de carácter ontológico: ¿de qué hablan las proposiciones de la matemática?;
la segunda, una pregunta de carácter epistemológico: ¿por qué creer
en las proposiciones de la matemática?; la tercera, una pregunta acerca
de la metodología: ¿cómo se investiga en matemática? y la última, una pregunta
por las aplicaciones de esta ciencia: ¿cuál es la relación entre la matemática
y la realidad? Cómo se han respondido estas preguntas hasta
nuestros días es el eje articulador de la exposición.
Luego de un primer capítulo en donde se indaga acerca del por qué de este libro, los dos capítulos siguientes están dedicados a relatar las concepciones
matemáticas antiguas: desde Ahmés, el empirismo primitivo
y Tales de Mileto, hasta los primeros filósofos de la matemática, Platón
y Pitágoras, y, en un capítulo enteramente dedicado a él, Aristóteles, cuyo
método demostrativo (la axiomática clásica) es una anticipación de los sistemas
axiomáticos formales modernos.
En el capítulo 4 se desarrollan los postulados que Euclides explicitó en Los Elementos, prestando especial atención al V postulado, el que
luego de la reformulación de Hilbert se conoce como postulado de las paralelas,
para el cual todavía no ha sido posible demostrar si es o no independiente
de los otros cuatro (i.e., si puede ser demostrado a partir de
ellos) y, cuya eliminación o modificación, dio origen a las llamadas "geometrías
no euclideanas".
La consideración de la secuencia histórica da un salto de dos milenios
cuando se examina la reformulación y formalización que de la geometría
euclideana realizó Hilbert a fines del siglo XIX. En el capítulo 5
se analizan algunos intentos, todos fallidos, por demostrar la dependencia
del V postulado, y se explica cómo surgieron, a partir de la sospecha
de su indemostrabilidad, las geometrías no euclideanas de Gauss, J.
Bolyai, Lobachevski y Riemann que permiten teoremas "extraños" como,
por ejemplo, que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menos
que dos rectos o que si dos figuras poligonales son semejantes, es decir,
tienen ángulos iguales y lados proporcionales, son iguales, lo que implica
que no existen figuras semejantes de distintos tamaños.
Hasta el descubrimiento de la relatividad general, se creía que las
geometrías no euclideanas eran meras estructuras lógicas sin correlato
real y que la única geometría "verdadera" era la de Euclides puesto que,
se pensaba, era la geometría del espacio físico. Luego se descubrió que el
universo einsteniano no era euclideano y podía representarse con el sistema
de Riemann. Para comprender la nueva situación fue fundamental
la distinción de Hilbert entre el desarrollo formal de una geometría y su
interpretación, distinción que permitió aclarar la diferencia general entre
matemática formal y matemática aplicada.
A partir del final del capítulo 5, el resto del libro está dedicado a
exponer los sistemas axiomáticos formales y sus propiedades, prestando
especial atención a la consistencia.
Una manera de demostrar que un sistema axiomático es consistente,
resultado que debemos a Hilbert, es encontrar para él un modelo. En
el capítulo 9 se expone un modelo para la geometría no euclideana ideado
por Klein. Para construir su modelo este autor utilizó elementos de la
geometría euclideana, de modo que proporcionó un modelo relativo: si la
geometría de Euclides es consistente, también lo es la no euclideana. La
pregunta es, entonces, ¿es consistente la geometría de Euclides? Hasta el
momento no se derivaron de ella contradicciones, pero esto no significa que
no las haya. Desde la consideración de este caso y hasta el capítulo 14, se
desarrolla una serie de traducciones de un sistema axiomático a otro que
permite el desplazamiento del problema de la consistencia hacia sistemas
cada vez más confiables.
En el capítulo 11 comienza la exposición de lo que se llama "aritmetización
de la matemática". Descartes y Fermat, de manera independiente
y al mismo tiempo, crearon la geometría analítica: tradujeron la
geometría euclídea en términos del lenguaje de los números reales, de
manera que todas las propiedades de figuras geométricas quedaron expresadas
algebraicamente1. La pregunta acerca de la consistencia se desplazó nuevamente: ¿es consistente el álgebra de los números reales? Se
demostró que es posible traducir el sistema axiomático que describe a los
números reales a aquel que describe a los racionales, desplazando a este
nuevo sistema la pregunta por la consistencia. Las reducciones continuaron,
hasta que el problema de la consistencia de la geometría euclídea quedó finalmente reducido al de la consistencia de la aritmética de los
números naturales: si la aritmética es consistente, también lo es la geometría
euclídea y todo sistema que pueda traducirse a ella.
El sistema axiomático para los números naturales creado por Peano
admite, además del estándar, infinitos modelos no estándar, de manera
que no permite determinar de qué hablamos cuando decimos "número
natural" y entonces, puede argüirse, no constituye una adecuada caracterización
de la aritmética. Siguiendo a Russell, se creyó encontrar un
modelo absoluto para este sistema en la teoría de conjuntos de Cantor.
Esto es una forma de lo que se llamó logicismo: si la interpretación conjuntística
es modelo para los axiomas de Peano y la teoría cantoriana forma
parte de la lógica, es posible reducir la matemática a la lógica. La pregunta por la consistencia se concentra entonces en la teoría de conjuntos.
Para responderla, los tres capítulos siguientes se ocupan de las
antinomias lógicas y los intentos por solucionar la principal de ellas: la
conocida como "antinomia de Russell" en honor a quien fue su descubridor
en 1903. En el capítulo 15 se presentan dos de las soluciones: por un
lado, la teoría de los tipos de Russell, en su versión simple y en su versión
ramificada, junto con un apartado dedicado al tratamiento de sus problemas,
entre los que vale destacar la gran dificultad para obtener la
matemática habitual dentro de esta teoría, dado que tendríamos tantas
aritméticas como órdenes hay dentro de cada tipo, y, por otro lado, la solución
del neointuicionismo matemático, posición que, entre otras cosas, se
caracteriza por rechazar el principio del tercero excluido. Se analizan también
sus dificultades antes de pasar, en el capítulo siguiente y sólo de
manera informal, a la solución que proponen las teorías axiomáticas de
conjuntos, de las cuales se expone la de Zermelo-Fraenkel.
Los formalistas, de la mano de Hilbert, creían que la matemática
podía reconstruirse por completo a partir de los sistemas axiomáticos de
la teoría de conjuntos y que podía probarse su consistencia. Esta ilusión
fue destruida por los resultados que Gödel probó en 1931 y que se traducen
en dos metateoremas a los que se dedica el capítulo 17: en el primero,
se demuestra que cualquier sistema que contenga a la aritmética es
incompleto; en el segundo, se demuestra que ningún sistema axiomático
lo suficientemente fuerte como para expresar la aritmética puede
demostrar su propia consistencia, lo que echa por tierra la esperanza de
demostrar alguna vez la consistencia de sistemas axiomáticos como el de
Peano o el de Zermelo-Fraenkel. El capítulo termina con una breve reseña
sobre la situación actual en relación a este tema; el libro, con una reflexión
acerca de la relación entre matemática y filosofía.
Las desventuras del conocimiento matemático es un libro muy interesante
y tiene la virtud de brindar una introducción profunda a difíciles
problemas filosóficos siendo, a la vez, accesible para quien posea
conocimientos básicos de lógica y teoría de conjuntos. A esto contribuyen
el buen manejo del tiempo narrativo, que permite introducirnos gradualmente
en temas de complejidad creciente, los datos biográficos, curiosos
la mayoría de las veces, que anticipan el tratamiento de cada autor y enriquecen
la lectura haciéndola aún más amena y la claridad y el orden en
la exposición que caracterizan a esta obra que nos invita, desde sus primeras
páginas, a recorrer el asombroso mundo de la matemática y su filosofía.
(Roberta Zucchello)
1 Descartes y Farmat demostraron, por ejemplo, que existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los puntos de la recta y un conjunto determinado de pares ordenado de números reales. De esta manera, "punto" se traduce como "par ordenado de números reales". La traducción algebraica de "recta" es una ecuación de primer grado con dos incógnitas, cuya forma general es ax + by + c = 0.