1. Introducción

Dentro de la filosofía de la práctica matemática, la cuestión de la pureza del método ha ido ganando un lugar en las agendas de investigación y publicaciones. Usualmente se caracterizan los métodos puros por relación a las demostraciones o soluciones en los que se emplean; así pues, las soluciones/demostraciones puras son intrínsecas a los problemas/teoremas. Por otro lado, un recurso metodológico es “impuro” si resulta ser ajeno al problema/teorema. Así mismo, y dado que “intrínseco” y “ajeno” pueden (y suelen) entenderse como una relación tópica (o semántica), la expresión “pureza tópica” suele ser empleada para especificar en qué sentido se entiende la relación “intrínseco a”. De esta manera, las soluciones/demostraciones “tópicamente puras” son intrínsecas al tópico (o contenido) del problema/teorema en cuestión. Alternativamente podría decirse: las soluciones/demostraciones son puras, si “se basan únicamente” en el tópico del problema/teorema. No obstante, para lograr una mejor economía de exposición, emplearé “pureza” siempre queriendo dar a entender “pureza tópica”; por otra parte, “pureza del método” siempre significará indistintamente “demostración pura” o “solución pura”, dejando a un lado cualquier distinción entre teoremas y problemas, excepto explícita aclaración.

La anterior caracterización es la manera estándar de introducir el problema, y la misma enfatiza la relación binaria “intrínseco a”; luego, entender en qué consiste una solución pura supone tener una comprensión satisfactoria de esta relación. En este punto, una tarea filosófica esperable sería la de clarificar la relación “intrínseco a” (aplicada a soluciones o demostraciones). Sin embargo, la tarea analítica no es suficiente, pues el objetivo es ganar comprensión de la práctica matemática. En efecto: entender por qué las soluciones puras son de interés en la práctica matemática es también un objetivo insoslayable. Por lo tanto, esta formulación usual o estándar sugiere que una investigación en torno a la pureza del método tiene por delante dos desafíos de naturaleza distinta:

Desafío semántico: ofrecer una noción de contenido o tópico de un problema/teorema, de forma tal que, a partir de ella, pueda caracterizarse rigurosamente la relación “intrínseco a”.

Desafío del valor: iluminar en qué radica el valor de los métodos puros en la práctica matemática.

En este punto resulta manifiesto que la presentación usual del problema induce desafíos asimétricos, pues en ella hay un claro énfasis en la relación binaria, a la vez que se mantiene silente respecto a cómo entender el valor de la pureza. En otras palabras, mientras que esta manera de formular el problema de la pureza nos dice algo acerca de en qué consiste una solución pura, nada nos dice acerca de cómo entender, aunque sea de forma incipiente, en qué radica su valor. En otras palabras, esta concepción jerarquiza el desafío semántico (y con ello la tarea analítica) por encima del desafío del valor, el cual queda silente respecto a qué tarea la investigación debe llevar a cabo.¹ Sin embargo, y a pesar de este silencio, la tónica de la literatura específica se orienta a entender las soluciones puras como poseyendo un tipo específico de virtud epistémica, presuntamente diferenciada de otras virtudes usualmente reconocidas, tales como la “explicatividad”, o la “simplicidad”, por ejemplo. Puede apreciarse rápidamente entonces, que, por un lado, la concepción usual considera el predicado “pura” como primariamente aplicado a demostraciones y soluciones, a pesar de que en general se hable sin más de pureza del “método”. Por otro lado, esta concepción prioriza la tarea analítica de clarificar las condiciones para clasificar demostraciones y soluciones en “puras” e “impuras”, dejando en un segundo plano la cuestión del valor de los métodos puros.

Las últimas dos observaciones suscitan las siguientes interrogantes: ¿por qué priorizar el desafío semántico a costa de oscurecer el desafío del valor? ¿Por qué considerar “pura” como un predicado primariamente aplicado a demostraciones o soluciones, cuando las cuestiones metodológicas no se restringen a ellas? En la literatura relevante no se aprecia justificación alguna en favor de la primacía del desafío semántico, mientras que, por otra parte, es habitual que los casos de estudios sean demostraciones particulares de teoremas como el de la infinitud de los números primos, o el teorema de Desargues en el plano. Pero es evidente que “pura” nunca se restringe únicamente a demostraciones ni soluciones, pues inmediatamente nos vemos conducidos a preguntarnos por la pureza de una definición relevante para una demostración. Incluso si apelamos al ejemplo “clásico” de las soluciones analíticas de problemas geométricos, la cuestión de fondo radica en el uso mismo del método de coordenadas, más que en la solución particular en la que este interviene. Pero entonces, ¿tenemos en cada uno de estos casos un tratamiento diferenciado o unificado de “pura”? La concepción usual de la pureza del método también parecer ser silente a este respecto.

Creo que esta situación pone de manifiesto una falencia de la concepción usual que se presenta al momento mismo de su formulación. El objetivo de este artículo es alentar la adopción de una perspectiva más hospitalaria de la pureza del método, diferenciándola de la concepción usual en dos aspectos: por un lado, jerarquiza el desafío del valor y aborda el desafío semántico a la luz de este; por otro lado, relocaliza la “unidad de análisis” de las demostraciones/soluciones a las teorías, o más específicamente, a la actividad de construir teorías autónomas de otras áreas matemáticas (v.g. la construcción de una teoría proyectiva autónoma de la geometría euclidiana). Este abordaje tiene a priori algunas ventajas que serán exploradas con más detalle en la sección 3:

1) Al colocar la articulación fundamental de “pura” a nivel de la teoría, la pureza de las demostraciones, de las definiciones, etc. emerge con naturalidad, proveyendo así un tratamiento unificado de todas estas predicaciones de pureza. Se trata pues de la ventaja que ofrece una concepción más hospitalaria.

2) Al pensar la demanda de pureza como una “norma” que guía la práctica matemática de construir teorías autónomas, estamos atribuyendo a tal demanda un contexto práctico específico, lo cual nos permite, a su vez, no solo identificar el tipo de práctica matemática donde la demanda de pureza se muestra valiosa o incluso “fecunda”, sino que ofrece además una clave metodológica para poder contrastar esta concepción con la práctica matemática concreta. Es decir, nos señala dónde buscarla.

3) El abordaje del desafío semántico a partir del desafío del valor, entendido del modo que se sugiere, pone de manifiesto con naturalidad la importancia que tiene para la discusión la “geografía” de las disciplinas matemáticas. Las habituales expresiones como “demostración puramente proyectiva del teorema de Desargues”, o “definición puramente aritmética de número complejo”, solo se entienden a la luz de una “imagen” del mapa de las disciplinas matemáticas, y en particular, de la autonomía que cada una de ellas pueda tener. En otras palabras, esa imagen de la geografía matemática es imprescindible para entender el predicado “pura”.

Para motivar esta concepción hospitalaria de pureza, en la sección 2 profundizaré un poco en los desafíos arriba presentados para la concepción usual, mientras que en la sección 3, caracterizaré de forma muy esquemática la concepción hospitalaria a partir de algunas observaciones de Hilbert sobre el método axiomático. Destacaré en particular cómo esta concepción relocaliza la pureza en un nivel más profundo que la usual, a partir de la jerarquización del desafío del valor. En la sección 4, examino la noción de contenido informal de Arana y Mancosu (²⁰¹²), a efectos de señalar cómo esta se ve enriquecida gracias a esta nueva concepción. Algo análogo haré, por otra parte, en la sección 5, respecto de las propuestas de Detlefsen (²⁰⁰⁸) y Detlefsen y Arana (²⁰¹¹) acerca del desafío del valor. Finalmente, en la sección 6 reconsidero el desafío semántico a la luz de la concepción hospitalaria de pureza y señalo algunos problemas que deben ser afrontados por esta^.

2. Los desafíos fundamentales

¿De dónde proviene la concepción usual de la pureza? Esta es comúnmente asociada a David Hilbert (^١٨٩٩a, ^١٩٠٢a, ¹⁹⁷¹) y en particular, el siguiente pasaje suele emplearse para motivar esa formulación (v.g. Pambuccian, ²⁰⁰¹ y Arana, ²⁰⁰⁸):

[e]n la matemática moderna se practica muy a menudo este tipo de crítica, de acuerdo con la cual se intenta preservar la pureza del método [die Reinheit der Methode], es decir, utilizar en la demostración de un teorema, en la medida de lo posible, solo los medios que requiere [nahe gelegt] el contenido [Inhalt] del teorema. (Hilbert, ^1899a, pp. 315-316)

Tomando este pasaje como punto de partida, llegamos naturalmente a la caracterización “usual” de la pureza del método; en efecto, Hilbert dice que una demostración pura es aquella que solo se basa en lo que es “requerido por el contenido del teorema”. Así pues, una demostración pura es “intrínseca” en la medida de que los medios que emplea son “requeridos” por el contenido del teorema. Así mismo, la pureza es claramente de naturaleza tópica —i.e. es respecto del contenido [Inhalt] del teorema que se introduce la relación “intrínseco a”—. En cuanto al valor de la pureza, Hilbert dice que los matemáticos “modernos” (¿quiénes?) ven en la pureza un requisito para las demostraciones. Sin embargo, Hilbert no dice palabra alguna acerca de por qué la pureza de una demostración es valorada, o, si se prefiere, por qué la impureza sería objeto de crítica por parte de los matemáticos modernos. En tal sentido, este pasaje no es valioso tanto por lo que nos dice acerca del valor de la pureza del método, sino porque, en razón de la indudable autoridad matemática de Hilbert, la cita de arriba nos informa sobre lo que está “en el aire” de la práctica matemática decimonónica. Por último, nótese el matiz que Hilbert introduce en cuanto a la demanda de pureza, de acuerdo con el cual es “en la medida de lo posible” que esta se exige. Este matiz — ausente en la formulación usual del problema— es un claro indicio de que Hilbert está considerando la posibilidad de que haya un hiato entre el contenido de un teorema y los medios que necesitamos para demostrarlo; es decir, bien puede ocurrir que se requieran métodos impuros para demostrar el teorema, en cuyo caso la demanda no sería legítima. Por último, también resulta natural concebir la pureza de las demostraciones como un tipo específico de virtud o ideal demostrativo; en efecto, Hilbert se refiere a la pureza como un requisito de demostraciones. La concepción usual emerge entonces, con naturalidad de este pasaje allende el matiz recién señalado, al cual volveré en poco más abajo.

En cuanto a los desafíos introducidos en la sección anterior, hay algunas puntualizaciones que es preciso realizar. Con el desafío semántico, tenemos, de hecho, dos retos: ofrecer, por un lado, un concepto de contenido de un enunciado (ya sea un teorema o un problema) lo suficientemente robusto como para, por otro lado, poder definir, a partir de él, una relación aparentemente tan fuerte como “intrínseco a”. Una vez que tengamos tal concepto de contenido, podemos proceder de manera similar a definir el concepto de consecuencia lógica: partimos de la idea de “verdad en una estructura”, y luego, definimos –respecto a ese concepto– la relación de consecuencia lógica a partir de algunas “condiciones de adecuación”.

Así pues, en lo que respecta a este desafío, un ejemplo de condiciones de adecuación para un concepto de contenido en la literatura es uno introducido en términos de “identidad de demostraciones”. El énfasis aquí es garantizar que el predicado “puro” (y su negación) pueda usarse para discriminar efectivamente diferentes demostraciones de un mismo teorema. Kahle y Pulcini expresan esta “condición de adecuación” del siguiente modo:

[...] el hecho de clasificar una determinada demostración π : T [como pura/impura] no es solo una cuestión de confrontar el “contenido” de π con el “contenido” de T . En realidad, habría que poder descartar la posibilidad de reescribir la demostración en una versión más elemental π’ cuyo “contenido” ya no está allende [outstrip] al “contenido” de T. (Kahle & Pulcini, ²⁰¹⁸, p. 131; énfasis añadido)

La importancia de esta observación es evidente: si una demostración introduce alguna expresión que, de alguna manera, introduce un concepto que no “forma parte” del contenido del teorema, entonces no por ello necesariamente ocurre que la demostración introduce nuevos conceptos. Así pues, podría decirse que, si una expresión (o símbolo matemático) tal puede ser eliminada al reescribir la demostración, sin cambiar la identidad de esta, entonces la presencia de esa expresión no es indicio de impureza. Algo análogo podría pensarse para los conceptos o definiciones de las expresiones matemáticas: bien podría ocurrir que, en el contexto de una demostración, una expresión, v.g. cosϑ, no requiera –para la demostración– que se defina como una función trigonométrica sobre ℝ o ℂ, más allá de las razones trigonométricas, sino que simplemente podría entenderse como designando, v.g. el cateto de un triángulo pitagórico. En tal caso, el empleo de la notación “cosϑ” no implica de por sí que la demostración introduzca el concepto de función trigonométrica.

Por lo tanto, una noción de contenido adecuada para satisfacer esta condición de adecuación tendría que ser sensible a los escenarios descritos en el párrafo anterior (sin descartar la posibilidad de otros), y, en tal sentido, dicha noción estaría relacionada con un problema por demás huidizo desde un punto de vista lógico: la identidad de demostraciones. Ciertamente se trata de un problema semántico, aunque aquí el punto no tiene por qué consistir es definir una “semántica de demostraciones” para interpretar derivaciones en un lenguaje formal.² La cuestión práctica, es decir, la manera en que los matemáticos de ordinario juzgan si una demostración (informal) es distinta de otra demostración, no recae sobre la formalización de las mismas (y su pertenencia a una clase de equivalencia).³

Otra condición de adecuación razonable, y en cierta forma, más fundamental, hace hincapié en la necesidad de que el contenido de los teoremas goce de “cierta independencia” respecto de sus demostraciones, so pena de trivializar el predicado “pura”. Evidentemente, este sería el caso con las soluciones impuras. Por el contrario, si las demostraciones fueran un factor indispensable para el contenido de los teoremas, entonces todo teorema tendría a priori —es decir, por la misma noción de contenido— una demostración pura. En efecto, “[...] parece inverosímil que esto pueda ser cierto a priori, simplemente como consecuencia del análisis de la noción de contenido. La pureza acabaría siendo trivializada” (Mancosu y Arana, ²⁰¹⁵, p. 30).⁴

Esta observación deja de lado la viabilidad de una concepción de tipo “inferencialista” del significado, a la hora de transitar el desafío semántico. Pues, si una concepción tal se adoptara, la trivialización de “pura” radicaría en garantizar, por la mera concepción de significado, que todo teorema tenga una demostración pura. Así pues, bien podría decirse que esta condición de adecuación representa una “intuición semántica nuclear”, en la medida en que su satisfacción es necesaria para que podamos formular la noción misma de “demostración intrínseca”. No obstante, esta condición de adecuación no implica que las demostraciones no jueguen ningún papel en absoluto; en efecto, una formulación de esta condición de adecuación podría ser la siguiente:

Intuición semántica nuclear: el contenido de teoremas o problemas tiene “cierta independencia” respecto de sus demostraciones (o soluciones).

En efecto, esta intuición semántica no dice que las demostraciones sean completamente irrelevantes para el significado, sino que lo último tiene cierta independencia respecto de lo primero. Articular “cierta” es el desafío conceptual detrás de esta intuición semántica. Así pues, tenemos —al menos— dos condiciones de adecuación para una noción de contenido satisfactoria para caracterizar “demostración pura”. En la sección 4 presentaré y discutiré específicamente la noción de contenido informal de Arana y Mancosu (²⁰¹²) en relación con esta última condición de adecuación. La primera condición, por su parte, quedará excluida de este artículo dado que, por un lado, la intuición semántica nuclear coloca un problema más fundamental y, por otro, una concepción como la que aquí se pretende motivar no se restringe únicamente a las demostraciones, pero en absoluto puede dispensar de la segunda condición. Así pues, en lo sucesivo “desafío semántico” referirá exclusivamente a la condición introducida por Arana y Mancosu.

En razón de la asimetría que se apreció en los desafíos que la concepción usual introduce, es difícil poder decir algo en abstracto sobre el desafío del valor. Sin embargo, siguiendo la tendencia de la literatura podemos asumir que, debido a que “pura” es un predicado primariamente aplicado a demostraciones, podría entenderse que la pureza involucra un tipo de virtud o ideal epistémico (Detlefsen, ²⁰⁰⁸), de forma análoga a las demostraciones “explicativas”, “elegantes”, “naturales”, o “simples”, por ejemplo.⁵ Esto conduce a resaltar que el valor de las demostraciones puras está allende la validez de estas, por lo que las soluciones impuras no son lógicamente inválidas. Así pues, en esta situación, podría pensarse en elaborar una propuesta que asocie, con la caracterización hilbertiana de pureza (o una clarificación de la misma), tales o cuales características epistémicas, cognitivas, o de algún tipo análogo. Naturalmente, cualquier propuesta para caracterizar la virtud de la pureza tendría que explicar cómo esa virtud emerge del carácter intrínseco de las demostraciones, aunque esto no es en sí mismo decir mucho; por otra parte, una virtud tal tendría que ser identificada en la práctica matemática. A tales efectos, no bastaría con identificar una “tendencia” a “preferir” las demostraciones intrínsecas, pues además debemos poder identificar el porqué de esas preferencias; o alternativamente, identificar en el contexto de qué prácticas matemáticas emerge con naturalidad la demanda de pureza.

Sea lo que fuere que entendamos por “intrínseco”, parece evidente que una demostración tal parece estar reñida con las demostraciones que introducen conexiones entre lo que el teorema afirma y conceptos o nociones que, de algún modo, no están presentes o supuestos por este. Es precisamente en este punto donde el valor de las demostraciones puras puede ser severamente cuestionado, pues es evidente la fecundidad que históricamente ha representado el estudio de las conexiones entre áreas de las matemáticas que parecen estar “alejadas”, por así decirlo. A partir de aquí emerge una objeción inmediata al valor de las demostraciones puras, a saber, ser poco “fecundas” en el mejor de los casos, o impedir el desarrollo de las matemáticas, en el peor de los casos. Hilbert ya advertía al respecto que a menudo hay una razón más “profunda y justificada” para emplear medios impuros, pues se revelan “hermosas y fructíferas relaciones”, por lo que “nunca hay que dejar pasar por alto un suceso de este tipo en el que se entrecruzan diferentes áreas” (Hilbert, ^1899b, p. 236).

La siguiente observación de Kreisel hace el mismo énfasis que Hilbert:

Pero también está el vacío creado por no decir simplemente en voz alta qué (conocimiento) se obtiene con las demostraciones impuras, por ejemplo, con las demostraciones analíticas en la teoría de números: conocimiento de las relaciones entre los números naturales y el plano complejo o, más ampliamente, entre las propiedades aritméticas y geométricas. Es precisamente este conocimiento el que proporciona nuevos medios eficaces de comprobación de las demostraciones: si esto entra en conflicto con algún ideal de rigor, tanto peor para el ideal (que se está evaluando). (Kreisel, ¹⁹⁸⁰, p. 167)

Las demostraciones impuras son también iluminadoras, en tanto permiten poner de manifiesto conexiones antes desconocidas, por lo que, en tal sentido, estas demostraciones impuras se muestran fecundas a la hora de aumentar nuestro conocimiento matemático en la dirección contraria al que lo harían (caso que así ocurriese), las demostraciones puras. Carlo Cellucci por otra parte, sostiene de forma bastante contundente que “en el desarrollo histórico de la matemática, la demanda en favor de la pureza del método ha sido extensamente ignorada” (Cellucci, ²⁰¹⁷, p. 299). El punto de Cellucci es que la satisfacción indiscriminada de esta demanda, habría obstruido avances sustantivos en matemáticas, tales como la demostración del último teorema de Fermat.⁶

Kreisel y Cellucci parecen converger en esta suerte de “escepticismo” respecto de la pureza del método, el cual apunta contra la pureza en virtud de que esta atenta contra la fecundidad matemática, es decir, este escepticismo nos enfrenta con el dilema de elegir entre pureza y fecundidad de los métodos. Pero el mismo admite un matiz: la sospecha no radica tanto en sostener que no hay interés alguno en la pureza del método, sino en considerar que los métodos puros sean siempre preferibles a los impuros. A mi entender, esto sugiere que sería poco recomendable avanzar en una explicación del valor de estos métodos, asumiendo que bajo cualquier circunstancia el mismo es manifiesto. ¿Acaso la virtud de las demostraciones puras ocurre bajo ciertas condiciones específicas? Y si es así, ¿qué tipos de prácticas matemáticas motivan o alientan la demanda por métodos considerados “puros”? Finalmente, es muy importante tener presente que la objeción de fecundidad está claramente dirigida contra una concepción de la pureza como la usual, pues esta objeción asume que “pura” es un predicado de demostraciones.

3. Hacia una concepción más hospitalaria de la pureza del método

La formación de teorías es evidentemente una práctica matemática importante; habitualmente involucra la investigación en fundamentos de una disciplina y es una ocasión para la creación fecunda de nuevas matemáticas. La concepción de pureza que aquí expongo muy esquemáticamente consiste en sostener que la articulación fundamental de “pureza” se encuentra en este plano, siendo las restantes predicaciones de pureza subsidiarias de esta. Lo que dota de valor o “interés” a los métodos puros (y a las demonstraciones) consiste, entonces, en que los mismos satisfacen una demanda o requisito metodológico ligado fundamentalmente a la construcción de teorías matemáticas. En esta sección sugiero de forma muy esquemática que este es el caso cuando se trata del método axiomático de David Hilbert en los Fundamentos de geometría de 1899. Este sería, por lo tanto, un contexto —no necesariamente el único— donde la pureza del método deviene prominente, y la razón de ello es que la demanda de pureza y el método axiomático hilbertiano están, según intentaré explicar a continuación, estrechamente relacionados.⁷

El punto fundamental de la lectura que aquí presento radica en la siguiente distinción: por “método axiomático” debe entenderse, por un lado, la investigación axiomática y, por otro lado, la teoría axiomática. Lo primero es una actividad matemática (usualmente asociada a los estudios en fundamentos), mientras que lo segundo es un pretendido producto de esa práctica; en efecto, “método axiomático” no se reduce a lo segundo, en el caso de Hilbert, aunque no resulta extraño que se emplee esta expresión para referirse únicamente a la estructura de la presentación de teorías matemáticas en contextos meta-matemáticos. Como consecuencia de esta distinción, podemos distinguir también entre una demanda de pureza operativa en la investigación axiomática, de la pureza como un atributo o propiedad de la teoría axiomática. En lo que resta de esta sección argumentaré esquemáticamente que, por un lado, una teoría axiomática “pura” consiste en una teoría autónoma o autosuficiente, siendo tal cosa una característica inherente a la noción misma de “teoría axiomática” de Hilbert. Aquí es donde se aprecian las ventajas 1) y 3) de la sección 1 (pp. 3-4). Por otro lado, la “regla” o “principio” fundamental que Hilbert formula en el epílogo de los Fundamentos de geometría que guía la investigación axiomática puede entenderse como una formulación acorde a la investigación axiomática de la demanda de pureza. Evidentemente, aquí se apreciará la ventaja 2) de la sección 1. En consecuencia, lo que obtenemos de esta lectura es que la pureza del método estaba, como demanda y como propiedad, estrechamente vinculada al método axiomático de Hilbert.

Con relación a la pureza como propiedad de teorías axiomáticas, recuérdese la idea misma de teoría axiomática de Hilbert como trama de conceptos [Fachwerkes von Begriffen], constante en su pensamiento. Para apreciar cómo una cierta idea de autonomía está contenida en la idea misma de teoría axiomática, debe tenerse presente que esta trama es tal “que a cada objeto y a cada hecho de la esfera de conocimiento [Wissensgebietes] de que se trate [la teoría] les corresponda, respectivamente, un concepto de esa trama y una relación lógica entre conceptos del mismo” (Hilbert, ¹⁹⁹⁶, p. 23). Una teoría axiomática o “trama de conceptos” reconstruye entonces, una “esfera de conocimiento” [Wissensgebietes] dada, siendo en relación o en correspondencia con esta que la teoría es, por ejemplo, una axiomatización de la geometría euclidiana elemental. Esta correspondencia con una esfera de conocimiento introduce una noción de “completud” debido al requisito de que cada objeto y cada hecho de ese campo se corresponda con los conceptos y las relaciones lógicas de la teoría. Esta noción de completud es pre-formal debido a que “esfera de conocimiento” no es una noción exacta; en efecto, Hilbert da por satisfecha esta correspondencia en los Fundamentos, por ejemplo, cuando los axiomas permiten deducir los teoremas “más importantes de la geometría” (Hilbert, ¹⁹⁷¹, p. 2), mientras que en sus notas para un curso de verano sobre fundamentos de geometría de 1902 (Hilbert, ^1902b), la completud del sistema de axiomas se alcanza cuando todos los teoremas o “hechos” [Tatsachen] que componen la teoría pueden ser deducidos lógicamente a partir de los axiomas (véase Corry, ²⁰⁰⁶, §1; Giovannini, ²⁰¹⁵, cap. 3).

Esta noción preformal de “completud” relativa a un campo de conocimiento es de naturaleza pragmática o cognitiva (Abrusci, ¹⁹⁸¹; Awodey & Reck, ²⁰⁰²; Corry, ²⁰⁰⁶, p. 142; Sieg, ²⁰⁰⁹, p. 339). En tal sentido, la delimitación de esa esfera de conocimiento no es una cuestión lógica sino una cuestión relativa a la práctica matemática. Así pues, podemos entender que una “esfera de conocimiento” es una disciplina suficientemente madura; esto es, no es tanto un cuerpo de conocimiento (proposiciones, técnicas y conceptos organizados)⁸, sino un “conjunto de prácticas y de cuerpos teóricos asociados, en plural” (Ferreirós, ²⁰¹⁶, p. 197). En este sentido, a menudo ocurre que la palabra “teoría” significa “disciplina”. En efecto, la “teoría de números” es un caso muy claro, pues esta expresión no refiere a un cuerpo teórico bien definido, sino un crisol de prácticas matemáticas que se diferencian respecto a los conceptos centrales y las metodologías privilegiadas.⁹ Para que una investigación axiomática pueda ser llevada a cabo, tendríamos que “congelar” una práctica en un cuerpo de teorías fijo, para proceder a un análisis axiomático del mismo. Es precisamente en ese “congelamiento” donde delimitamos también el contenido (o tópico) de la disciplina a ser axiomatizada, pues al hacerlo también se seleccionan o introducen los conceptos que son importantes, acerca de los cuales trata la teoría.¹⁰ Llegado este punto, estamos en condiciones de entender cómo esta condición de completud preformal implica que las teorías axiomáticas sean autónomas o autosuficientes. Para apreciarlo basta observar lo siguiente:¹¹ un sistema de axiomas es autónomo o autosuficiente cuando todos ellos se corresponden con “hechos” (básicos) de la disciplina que el sistema axiomatiza, pues, de lo contrario, la teoría no sería “completa” aun cuando se empleen principios que permitan deducir todos, o los más importantes teoremas de esa disciplina.¹²

Atendiendo a la anterior caracterización del atributo de pureza como autonomía de las teorías, el lector habrá apreciado que son los axiomas el locus de la misma. Pero entonces, ¿es esto una garantía de que las demostraciones en la teoría sean puras —i.e. que queden excluidos en sus métodos de inferencia nociones ajenas a la disciplina—? Esta es una cuestión muy relevante, pues como he sugerido en la sección 1 (página 96), esta concepción hospitalaria promete unificar las distintas predicaciones de pureza (ventaja 1)). Sin embargo, tal unidad puede objetarse si la propiedad de pureza no se transfiere sin más de la teoría a las demostraciones. En mi opinión, el punto crítico aquí es la noción misma de teoría axiomática; en efecto, el análisis lógico de esta noción hace de las teorías una entidad sintáctica con una lógica explícita, gracias a lo cual se delimita prístinamente tanto las sentencias como las inferencias que pertenecen a esa teoría.¹³ En tal caso, y asumiendo que la lógica de la teoría es inocua en lo que hace al contenido de la misma, entonces, si la teoría es pura, sus demostraciones también. Pero esta no es la situación cuando pensamos en la construcción de teorías en la práctica matemática, pues no resulta extraño que se empleen, con el fin de obtener ciertos resultados, propiedades bien conocidas de algún modelo de la teoría, en vez de los axiomas y principios de inferencia que caracterizan la teoría.¹⁴

La unificación de estas dos predicaciones de pureza hay que buscarla, en la práctica matemática, en la construcción de teorías axiomáticas. Aquí la atención es “selectiva” pues no cualquier demostración de cualquier teorema importa por igual; en efecto, las demostraciones cuya pureza importa en los Fundamentos de Hilbert son las de los teoremas de Pascal (Pappus), Desargues, o De Zolt, por ejemplo, pues son fundamentales para distintas teorías (o “subteorías”, si se quiere) dentro de los Fundamentos (teoría de la euclidiana proporción, geometría euclidiana del espacio tridimensional y teoría del área respectivamente). Esta atención selectiva es típica en la construcción de teorías y la investigación axiomática en los fundamentos de una disciplina. Lo habitual es que solo algunas definiciones y teoremas “fundamentales” justifiquen tal preocupación purista, por lo que no necesariamente cualquier demostración en la teoría ha de ser pura aun cuando la misma sea “autónoma”. Por lo tanto, si lo que nos interesa es entender la práctica matemática, es perfectamente razonable afirmar que es en la demostración de algunos teoremas importantes donde se unifican la pureza de las teorías con la pureza de las demostraciones, aun cuando tal cosa no garantice que toda demostración en la teoría sea pura. En efecto, la pureza de esas demostraciones es lo importante para la obtención de una teoría pura desde una perspectiva práctica.

Por añadidura también se transparenta el valor de la pureza de esas demostraciones, pues son un paso indispensable para la obtención de una teoría pura. Así mismo, este punto de vista “hospitalario” también sugiere una explicación directa acerca de por qué las atribuciones de pureza a demostraciones siempre se hacen con referencia a una disciplina o teoría matemática (esta era la ventaja 3) de la página 96). En efecto, habitualmente las atribuciones de pureza se realizan con referencia a una disciplina, por lo que la relación “intrínseco a” no debe entenderse como afirmando que las demostraciones puras lo son con respecto al contenido individual o aislado del enunciado del teorema. Así pues, la suposición de una cierta delimitación o “geografía” de al menos algunas disciplinas matemáticas, se explica por la importancia que tiene, para la construcción de teorías (axiomáticas), el que ciertas demostraciones se inscriban dentro de la disciplina o subdisciplina que la teoría axiomatiza. Esta característica se explica naturalmente cuando atendemos a la pureza como atributo de teorías axiomáticas.

La ventaja 2) —página 3— de esta concepción hospitalaria respecto de la concepción estándar radicaba en iluminar un contexto donde la demanda de pureza pueda emerger con naturalidad. A partir de los párrafos precedentes queda claro que ese contexto puede ser el de la construcción de teorías axiomáticas hilbertianas. Sin embargo, y aun cuando la pureza/autonomía de las teorías axiomáticas no es una propiedad accidental de las mismas, todavía resta entender cómo la investigación axiomática hilbertiana codifica las demandas puristas y cómo la satisfacción de una demanda purista conduce o favorece la autonomía de la teoría resultante. La respuesta a la primera interrogante la podemos hallar en una observación presente en el epílogo de los Fundamentos de geometría. Allí, Hilbert presenta el “principio” o regla fundamental que ha guiado la investigación cuyo producto es Fundamentos de geometría, y la cual, a su vez, Hilbert relaciona con el ideal de pureza del método. Esta regla se basa en

[...] hacer que la discusión de cada cuestión tenga un carácter tal que permita examinar al mismo tiempo si es posible o no responder a esta cuestión siguiendo un método previamente determinado y empleando ciertos medios limitados. [...] la exigencia de la “pureza” de los métodos de demostración que han defendido muchos matemáticos con gran énfasis [...] no es en el fondo otra cosa que una forma subjetiva de la regla básica seguida aquí. (Hilbert, ¹⁹⁷¹, pp. 106-107; énfasis añadido)

La interpretación de esta regla en conexión con el método axiomático y el modo de entender su relación con la demanda de pureza no es un asunto trivial.¹⁵ Sin embargo, es factible señalar cuatro puntos, acerca de los cuales no podré extenderme mayormente aquí, pero será suficiente para el presente propósito. En primer lugar, se trata de una regla práctica que guía la investigación axiomática, pero no afirma una suerte de propiedad metateórica, como la consistencia o la independencia de los axiomas. Es decir, la regla opera en la formación de las teorías axiomáticas. En otras palabras, esta regla opera en la investigación axiomática dándole formato a las cuestiones tratables de acuerdo a el método axiomático. En segundo lugar, la regla pone en el centro el concepto de demostración y los resultados de independencia, aunque no se trate de la independencia específicamente de los axiomas, sino de la imposibilidad de demostrar una proposición a partir de ciertos axiomas, o a la posibilidad efectiva de demostrar una proposición sin emplear tales o cuales axiomas. En otras palabras, en la aplicación de esta regla podemos encontrarnos tanto con demostraciones —metateóricas— de imposibilidad, como con demostraciones dentro de la teoría que no emplean tales o cuales axiomas —i.e. demostraciones de la “dispensabilidad” de un axioma—. La regla, entonces, puede leerse de la siguiente manera: la investigación axiomática de una disciplina matemática se lleva a cabo de tal manera que, ante cada problema, o conjetura respecto a la demostración de una proposición particular a partir de ciertos axiomas o “medios limitados”, se examina su posible “independencia” (en los dos sentidos señalados) respecto de estos axiomas o un subconjunto de ellos.

En tercer lugar, y siguiendo una sugerencia de Hallett (2008), puede pensarse que esta regla permite transformar la demanda de pureza, de forma tal de, en vez de interrogar sobre el carácter tópicamente intrínseco de los métodos (simpliciter), interrogar hasta qué punto una disciplina puede desarrollarse en ausencia de los conceptos (o proposiciones) que se creen “ajenos” a esa disciplina —i.e. no comprendidos dentro de la delimitación de la disciplina—.¹⁶ En otras palabras, si concedemos que los axiomas introducen conceptos —v.g. el axioma de Arquímedes (axioma V en los Fundamentos) introduce un concepto de “longitud de segmentos”¹⁷—, entonces la axiomatización de la disciplina arroja una delimitación conceptual de la misma —i.e. delimita su contenido—.¹⁸ De esta manera, una “conjetura purista” que afirme el carácter ajeno de un concepto en la demostración de un teorema se codifica, dentro de la investigación axiomática, bajo la forma de una interrogante del tipo “¿es la proposición en cuestión independiente de tal o cual axioma?”. El caso es que para pronunciarse acerca de esto, los resultados de “independencia” son la clave. Así pues, un resultado de dispensabilidad puede ser un resultado en favor de que la pretensión (o conjetura) purista es correcta, mientras que uno de imposibilidad podría leerse como la confirmación de que no es posible dar lugar a la demanda purista. Este es el tipo de cuestiones “objetivas” que la investigación axiomática trata.

En los Fundamentos se puede apreciar claramente la aplicación de esta regla, por lo que puede decirse con seguridad que esta regla está presente en la práctica matemática de Hilbert: su reelaboración de la teoría euclidiana de la proporción independiente del axioma arquimediano (axioma V), la introducción de coordenadas con base en un cálculo de segmentos (sin presuponer la noción de número), así como el tratamiento del postulado de De Zolt independientemente de las nociones de magnitud y número, para desarrollar una teoría del área poligonal, son claros ejemplos de ello. ¹⁹Estos son ejemplos de resultados de independencia que se demuestran dentro de la teoría. Por otra parte, el tratamiento del teorema de Desargues es un ejemplo de una demostración de imposibilidad, llevada a cabo desde una perspectiva metateórica.²⁰

Todas las investigaciones de Hilbert referidas más arriba están motivadas por demandas de pureza provenientes de la práctica matemática de su tiempo, y en particular, por el interés de erigir, hasta cierto punto al menos, teorías autónomas: la geometría proyectiva autónoma de la euclidiana, la geometría euclidiana (teoría de la proporción y del área) independiente del axioma arquimediano, la aritmetización del análisis, etc. Tal actividad exige que la demostración de ciertos teoremas, articuladores de las mismas, sean “puras” —i.e. independiente de nociones “extrañas” al campo disciplinar de la teoría—. Así pues, la construcción de una teoría autónoma supone poder mostrar que ciertos resultados importantes para la disciplina puedan probarse dispensando de los conceptos o proposiciones que se presumen “extraños” a la misma. Por lo tanto, cabe perfectamente pensar que, así como la autonomía no era una característica meramente accidental de las teorías axiomáticas hilbertianas, también puede pensarse que la demanda de pureza es también inherente a la investigación axiomática. En definitiva, lo que he intentado en esta sección es ilustrar esquemáticamente cómo el método axiomático hilbertiano puede instanciar la idea rectora de una concepción “hospitalaria” de la pureza del método, así como sus tres ventajas respecto de la concepción usual. En las secciones 4 y 5 intentaré mostrar que algunos aspectos de esta concepción hospitalaria están de hecho presentes en las respuestas de la concepción usual a los desafíos semántico y “del valor”.

4. Desafío semántico y contenido informal

Arana y Mancosu (²⁰¹², §4.5) introducen un concepto de contenido pertinente para la discusión, en tanto que claramente satisface la intuición semántica nuclear de la página 100, pero también interesa porque su viabilidad para discriminar entre demostraciones puras e impuras parece asumir consideraciones como la 3); por último, esta noción puede interpretarse como dando un lugar central a la actividad heurística, y tal cosa es relevante para la concepción hospitalaria en virtud de que esta jerarquiza la norma de pureza como una “regla práctica” que guía la formación de teorías, de acuerdo con 1) y 2). Se trata pues del concepto de contenido informal o comprensión ordinaria. A grandes rasgos, este concepto considera lo que está explícitamente establecido en las formulaciones de los problemas o teoremas, y asigna a las expresiones matemáticas implicadas en ellos, las definiciones (o conceptos) más “básicas” u “ordinarias”. Por lo tanto, podemos reformular la noción de “solución tópica pura” de la siguiente manera: las soluciones tópicamente puras de los problemas “se basan únicamente” en lo que constituye la comprensión básica o el contenido informal de ese problema. Así pues, estas nociones de “basicidad” u “ordinariedad” son esenciales para la concepción de Arana y Mancosu sobre la pureza de los métodos (cf. Detlefsen y Arana, ²⁰¹¹, p. 17). Ellos caracterizan esta noción de contenido diciendo que la “ordinariedad” es un grado de comprensión por parte de un agente, que es

[...] suficiente para un intento bien intencionado [well-intentioned attempt] de demostrar ese enunciado, incluso si tales intentos pueden estar condenados al fracaso en casos particulares. Tal capacidad es típica de lo que consideramos comprensión “básica” u “ordinaria” de los enunciados matemáticos, y esta habilidad está claramente extendida, por ejemplo, entre los neófitos en matemáticas. (Arana & Mancosu, ²⁰¹², p. 335; énfasis añadido)

La comprensión ordinaria de un enunciado es suficiente para llevar a cabo un intento bienintencionado de demostrarlo, pero no es suficiente para garantizar su demostración. En otras palabras: las demostraciones no son esenciales para la comprensión ordinaria, pero se requiere cierta capacidad para intentar demostrar el enunciado. Por lo tanto, esta noción está orientada a satisfacer la segunda intuición semántica nuclear. Por otra parte, el carácter cognitivo de esta noción apunta a que el contenido de un enunciado para un agente emerge a través de la acción —que bien podemos adjetivar de “heurística”— de intentar seriamente demostrar dicho enunciado.²¹ Pero para que esta noción sea operativa para intentar atribuir tal o cual comprensión al agente, es necesario atribuirle a este ciertas “herramientas” cognitivas o conceptuales, digamos, que de algún modo restringen su horizonte de actuación; caso contrario, no tendríamos manera de circunscribir hasta dónde llega la comprensión del agente y, en consecuencia, el contenido del enunciado. Así pues, previendo tal tipo de restricción podemos sugerir que aquello que el agente comprende en un enunciado —su contenido informal— consiste en una suerte de “invariante conceptual” que los agentes aprehenden cuando intentan demostrar el enunciado. En efecto, “básico”, “ordinario” y “neófito” sugieren un tipo de restricción.

Teorema 4.1 Si dos triángulos coplanares A ₁ B ₁ C ₁ y A ₂ B ₂ C ₂ , y las rectas A ₁ A _2, B ₁ B ₂ y C ₁ C ₂ se cruzan en el punto O, entonces las intersecciones AB _i , BC _i y AC _i , de los lados correspondientes de los triángulos A ₁ B ₁ C ₁ y A ₂ B ₂ C ₂ , —esto es, las intersecciones entre A ₁ B ₁ y A ₂ B ₂ , B ₁ C ₁ y B ₂ C ₂ , así como A ₁ C ₁ y A ₂ C ₂ respectivamente— son colineales en g (Fing.).

Figura 1 Teorema de Desargues en el plano. 

Los autores no desarrollan esta noción pues su interés radica únicamente en mostrar que el teorema de Desargues en el plano admite un contenido informal que lo coloca como un enunciado de la geometría plana (Teorema 4.1). Para apreciar la importancia que la consideración 3) tiene en la argumentación de Arana y Mancosu, conviene ir un poco más allá de su planteo e interpretar “intento bienintencionado” de demostrar 4.1 como una actividad heurística. A este respecto, hay algunas consideraciones que el agente debería tener presente:

1. Una idea de la estructura lógica del enunciado.

2. El cuidado de tomar en consideración lo enunciado en el antecedente, con el fin de emplear, en su intento de demostración, la información allí contenida. Otro tanto ocurre con el sucedente, pero a efectos de reconocer cuándo finaliza la putativa demostración.

3. El cuidado de elaborar, aunque sea de un modo vago, una cierta estrategia argumental.

4. La precaución de reflexionar acerca de cómo puede “modularizar” su razonamiento en pasos inferenciales, a efectos de verificar si los mismos están lógicamente justificados.

Evidentemente nada impide que un estudiante de geometría proyectiva, a quien se le ha presentado la disciplina por medio de proyecciones en el plano de figuras tridimensionales (cosa muy común de hecho), tenga una comprensión ordinaria espacial de 4.1, pero fracase en intentos particulares de demostrarlo debido a su falta de pericia (precisamente, se trata de un estudiante). Empleando creencias espaciales el estudiante puede fallar, por ejemplo, en visualizar la estrategia consistente en demostrar el caso plano como corolario del teorema de Desargues en R ³. Además, incluso atendiendo a esta estrategia el estudiante puede fallar, por ejemplo, en darse cuenta de la conveniencia de que la recta g de la Fig. 2 sea la intersección de los dos planos no paralelos P y P*. El estudiante también puede no darse cuenta de que el punto O, el centro de proyección, podría verse como el vértice de un tetraedro, donde su base es uno de los triángulos arguianos, mientras el otro lo producimos seccionándolo con un plano, P*, que intersecta el plano de la base en la recta buscada, g, tal como en la Figura 2.

Figura 2 Figura 2. Desargues en 3D (Courant & Robbins, ²⁰⁰²). 

Así pues, este agente tendría una comprensión suficiente de 4.1 para intentar demostrarlo, incluso si su habilidad actual le hace fracasar en sus intentos particulares.

Por tanto, dada la definición de contenido informal, este agente tiene una “comprensión ordinaria” de 4.1, pero, al mismo tiempo, nuestro agente tiene creencias, conceptos o compromisos espaciales; luego, el contenido informal de 4.1 sería espacial.

Figura 3 Figura 3 

Pasemos a restringir los recursos conceptuales del agente a conceptos de la geometría plana, y evaluar si puede tener “intentos bienintencionados” de demostrarlo, en un grado tal que podemos decir que tiene comprensión del teorema, aunque esta sea bastante “básica”. Es sencillo apreciar que este es el caso, pues un agente con un entendimiento ordinario (plano) de 4.1, puede empezar por construir (dibujar) configuraciones arguianas de forma azarosa; en tal caso, siguiendo lo que se indica en el antecedente de 4.1, podría empezar por situar O y tres rectas incidentes con él, siendo que sobre las mismas inciden los respectivos puntos que constituyen los vértices de ambos triángulos. Esto dará lugar a múltiples configuraciones dependiendo de la posición relativa de los triángulos respecto de O, donde a su vez, y teniendo cuidado al etiquetar los vértices, experimentará buscando los puntos AB_i , BC_i y AC_i , para verificar si puede trazar una recta g (véase los “bosquejos” en Figs. 3 y 4). Así pues, se trata de una actividad de dibujar configuraciones siguiendo las precauciones 1 y 2 de arriba.

Figura 4 Figura 4 

En este punto, nuestro agente conjeturaría que podría demostrar 4.1 indicando, vía construcción sintética y a partir de relaciones de colinealidad e incidencia, cómo obtener la deseada recta g, de acuerdo con 3 (cf. Pasch, ²⁰¹³, p. 74)^. Él puede empezar a preguntarse, de acuerdo con 4, los “pasos” de la demostración, y su experimentación le puede sugerir que, en algunas configuraciones, las extensiones de los lados correspondientes de los triángulos “parecen” no interceptarse, es decir, serían rectas paralelas. Aquí la restricción introducida habilita distintas alternativas, y en particular, habilita una alternativa euclidiana y otra proyectiva; la primera probablemente hará dudar al agente de la propia formulación, dado que el caso paralelo no está comprendido, pero en el caso proyectivo el agente podrá apelar a su conocimiento ordinario de geometría proyectiva, y pensará que esos puntos (AB_i , BC_i y AC_i ) pueden localizarse al infinito (Figura 5). Sin embargo, aún hay un paso crítico: el de deducir la existencia de la recta g. En este paso, las dos alternativas mencionadas tienen consecuencias para la posibilidad lógica de que el estudiante “pueda” llegar a demostrar 4.1. En efecto, el teorema es deducible en la geometría euclidiana del plano (apelando al teorema de Menelao²²), pero no lo es en la geometría proyectiva plana, debido a la existencia de planos no arguianos, o “de Moulton” (Figuras 6, 7). En el primer caso los fracasos particulares podrían ser atribuidos a una falta de habilidad, pero en el segundo la razón es netamente lógica.

Figura 5 Figura 5. Configuración arguiana con g B ₁ C ₁ B ₂ C ₂ en el plano π. En el punto al infinito BC _i se intersectan B ₁ C ₁ y B ₂ C ₂ en g. 

En virtud de lo anterior podemos apreciar dos cosas: por un lado, la actividad heurística descrita contribuye a la comprensión de 4.1 aun cuando el agente ignore, por ejemplo, el resultado metateórico referido; por otro lado, podemos plantear tres restricciones diferentes para el agente, el cual adscribe al teorema contenidos ordinarios distintos:

A. El agente cuenta únicamente con conceptos de la geometría proyectiva del espacio.²³

B. El agente cuenta únicamente con conceptos de la geometría proyectiva plana.²⁴

C. El agente cuenta únicamente con conceptos de la geometría plana euclidiana, incluyendo los conceptos de proporción y semejanza de triángulos (necesarios para el teorema de Menelao). En tal caso, podría decirse que tiene una comprensión “métrica” de 4.1.

Figura 6 Figura 6. Plano de Moulton. Construimos un nuevo plano sobre ℝ × ℝ modificando las líneas que tienen una pendiente positiva. Definimos las imágenes de la línea y = m ∙ x + b (m,b ϵ ℝ, m > 0), como {(x,y):y ≤ 0, y = m ∙ x + b} ∪ {(x,y):y > 0, y = m/2 ∙ x + b}. En otras palabras, se puede decir que las líneas de pendiente positiva se “refractan” en el eje x. En la figura, el grado de inclinación de la recta e, para y ≤ 0 es ω, mientras que para y > 0, es ω/2 . 

Figura 7 Figura 7. Contraejemplo a 4.1 en un plano de Moulton (configuración de Figura 4). 

Estas restricciones califican como “ordinarias” o “informales” en la medida en que no suponen un conocimiento metateórico de 4.1.²⁵ Pero lo que en último término interesa aquí es si el agente puede tener alguna comprensión del significado de “pura” (aplicado a demostraciones); esto es, como mínimo, si puede discriminar una demostración pura de una impura. Pues si tal cosa no ocurriese, entonces lo que él comprenda de 4.1 con arreglo a alguna de las restricciones A. - B., no sería un grado de comprensión adecuado para la investigación sobre la pureza de las demostraciones. En efecto: el agente ni siquiera podría figurarse el problema. Para ello se requiere, por un lado, que el agente sea capaz de comprender 4.1 desde diferentes perspectivas, v.g. diferentes restricciones A., B., C., y por otro, que el agente posea alguna creencia respecto a la relación entre esas perspectivas, v.g. las nociones métricas son independientes de las proyectivas, o que no hay una diferencia categórica entre proyecciones en el plano y en el espacio. Así pues, si toda la comprensión de 4.1 por parte un agente se reduce a B., él no podría entender una demostración espacial (proyectiva) ni “métrica” (euclidiana). Pero aun siendo capaz de entender 4.1 a partir tanto de B. como de C., él no podría sancionar una demostración métrica como “impura”, si no incorporase a su comprensión de 4.1 la creencia de que las nociones métricas forman parte de un dominio semántico autónomo de la geometría proyectiva (plana).

Todo esto conduce a la siguiente conclusión: para que el agente entienda mínimamente el predicado “pura” necesita incorporar alguna creencia acerca de la relación entre los distintos marcos geométricos. En efecto, no podría considerar impura una demostración “métrica”, actuando dentro de la restricción B., si no considerase que las nociones “métricas” son ajenas a la geometría proyectiva, y tal cosa ocurre en cada una de las alternativas reseñadas en el párrafo anterior. Esto muestra que para hablar de pureza resulta indispensable tener presente la consideración 3) —i.e. “imagen” del mapa de las disciplinas matemáticas, y en particular, de la autonomía que cada una de ellas pueda tener—. Con esto no pretendo afirmar que un tipo de creencia así deba ser incorporada dentro de la noción de contenido informal, aunque no sería extraño que un profesor presente la geometría proyectiva diciendo que las proyecciones (centrales) no conservan propiedades “métricas” tales como longitudes o razones. Sin embargo, en su ausencia no podríamos comprender qué quiere decir “demostración métrica”, “demostración proyectiva”, etc., y tal cosa es indispensable para comprender las atribuciones de pureza a demostraciones. En definitiva, esto muestra la ventaja de la concepción hospitalaria para abordar el desafío semántico (incluso aceptando el concepto de contenido informal) a partir de su respuesta al desafío del valor. Por otra parte, la lectura heurística que he sugerido de contenido informal también adquiere un anclaje natural dentro de la perspectiva hospitalaria de pureza; en efecto, al colocar la pureza a nivel de la teoría, según 1), podemos enriquecer la noción de contenido informal atendiendo a otro tipo de actividades que no son intentar demostrar un enunciado (v.g. dibujar configuraciones geométricas), así como aplicarla también a definiciones, técnicas, etc. Finalmente, en consideración de 2) resulta muy natural pensar que el contenido emerge como producto de una actividad heurística.

5. La pureza como virtud o ideal de demostraciones o soluciones

La concepción usual de la pureza aborda el desafío del valor sosteniendo que la pureza es un tipo de virtud epistémica de las demostraciones, o un “ideal demostrativo”. En esta sección intento mostrar que las propuestas de Detlefsen (²⁰⁰⁸) y Detlefsen y Arana (²⁰¹¹) al respecto, o bien no logran identificar con claridad cuál sería dicha virtud, o bien lo que proponen sería mejor entendido a la luz de la concepción hospitalaria.

En Detlefsen (²⁰⁰⁸), se introduce la pureza demostrativa como un ideal de las demostraciones que va hasta Aristóteles, pues él

[...] presentaba la pureza como un ideal. Las pruebas que carecían de ella no eran necesariamente inútiles, pero no proporcionaban el más alto o mejor conocimiento de sus conclusiones. Se trataba, pues, de la más alta cualidad, o de la mejor demostración. (Detlefsen, ²⁰⁰⁸, p. 179)

Detlefsen identifica este ideal de pureza aristotélico en el requisito de la “exclusión de género” [metábasis ex allo genos] que Aristóteles reconoce como un requisito para la elección del término medio de un “silogismo científico” (An. Pos.75a29 - 75b12). Así pues, el tipo de conocimiento que ofrecen las demostraciones puras aristotélicas es el conocimiento de la causa (Detlefsen, ²⁰⁰⁸, p. 180). Una dificultad que estas observaciones de Detlefsen parecen tener, es que, de acuerdo con ellas, el ideal aristotélico de pureza colapsa con el concepto de “silogismo científico”, dado que la virtud de la pureza consiste en proveer el conocimiento de la causa. Es de destacar que, si bien Detlefsen no ignora esto en absoluto, tampoco se advierte una preocupación por diferenciar la cientificidad de una demostración, de la pureza. Así mismo, sería imprudente sostener que el requisito de exclusión de géneros conduce, de por sí, a que el término medio del silogismo sea causal, pues este término podría formar parte del mismo género que los términos mayor y menor, pero sin involucrar su definición. Por lo tanto, en la lectura que Detlefsen hace del requisito de Aristóteles, esta situación queda indeterminada, pues a la vez que la pureza es identificada con una de las condiciones para una demostración “científica” —i.e. la exclusión de géneros— la virtud es identificada por Detlefsen con el tipo de conocimiento que proveen las demostraciones científicas de Aristóteles. Luego, no parecería haber una virtud epistémica específicamente “purista”.

Por otra parte, al concentrarse únicamente en las demostraciones, Detlefsen parece dejar de lado un aspecto fundamental del trasfondo del requisito de exclusión de géneros: el que cada ciencia tenga su propio género, y en particular, que no exista una “matemática universal”. Claramente, la autonomía que guarden entre sí ciertos géneros del ser resulta fundamental para entender la demanda de la exclusión de géneros. En efecto: la división de las magnitudes en continuas y discretas, es decir, la autonomía entre ellas, es lo que claramente motiva la exclusión de géneros; esto queda de manifiesto en el propio ejemplo que Aristóteles introduce para ilustrar el requisito: “las cosas cuyo género es distinto, como la aritmética y la geometría, no es posible que la demostración aritmética se adapte a los accidentes de las magnitudes, si las magnitudes no son números”²⁶. En otras palabras: no hay un género común a ambas magnitudes. Usualmente se dice que la concepción aristotélica de las teorías científicas tiene, en su base, la tesis de que cada ciencia tiene su género propio; así pues, la autonomía entre géneros conduce a una autonomía entre teorías y, en tal contexto, el requisito de exclusión emerge con naturalidad. Así, el énfasis que Detlefsen coloca sobre el conocimiento de la causa parece erróneo en tanto opaca el hecho de que el requisito de exclusión es deudor de una concepción acerca de las teorías. Por lo tanto, la lectura de la pureza de acuerdo con la cual la misma es un medio para la construcción de teorías autónomas, parece ser claramente relevante para apreciar un interés purista en Aristóteles.

Este ideal aristotélico, observa Detlefsen, adopta una versión pragmática en la matemática contemporánea. Particularmente en teoría de números, Detlefsen observa, por un lado, que las demostraciones puras pueden asociarse con las demostraciones “elementales”; en sus palabras: “‘elemental’ [...] significa algo parecido a lo que entendemos por ‘tópicamente puro’” (Detlefsen, ²⁰⁰⁸, p. 190). Por otra parte, la pureza es

[...] una virtud pragmática, aunque sirva a fines epistémicos (a saber, la utilización efectiva del conocimiento para producir más conocimiento). No constituye en sí misma una virtud epistémica; una demostración pura no es, por el mero hecho de su pureza, una mejor justificación del teorema que demuestra. Sin embargo, es un instrumento más eficaz para obtener más conocimientos. Vemos aquí, pues, una sugerencia de la idea de que la pureza aumenta generalmente la eficacia de las divisiones del trabajo epistémico basadas en la especialización. (Detlefsen, ²⁰⁰⁸, p. 191)

Dos comentarios críticos pueden plantearse respecto a las sugerencias de Detlefsen. El primero es que esta asociación entre “elementariedad” y pureza no parece ser correcto en términos generales, es decir, esta distinción entre “elemental” y “avanzado” no parece capturar la distinción entre demostración “pura” e “impura” (cf. los casos presentados en Arana, ²⁰⁰⁸, §3). Para mostrar que esta asociación sería errónea, consideremos dos demostraciones de una proposición extremadamente “elemental”.

(1) (a +b)²= a ²+2ab +b ²

Cualquier estudiante escolar de álgebra puede demostrar esta identidad por exclusiva manipulación simbólica.²⁷ Así pues, el contenido operativo de (1) se reduce a decir que a ²+2ab +b ² es la “expansión” de (a+b)². Alternativamente, podemos demostrar “geométricamente”: tomamos el segmento de longitud (a + b), y construimos el cuadrado de lado (a +b), –i.e. (a +b)². Es claro entonces, que el cuadrado puede dividirse en un cuadrado de lado a, un cuadrado de lado b, y dos rectángulos de lados a y b (Fig. 8).

Figura 8 Figura 8. Demostración geométrica de la ecuación (1). 

Para un agente que tiene una comprensión operacional de (1), esta demostración geométrica es impura. Pero la razón no radica en que el “álgebra geométrica” sea más “avanzada” que el cálculo literal, en un sentido análogo al que la geometría espacial es más “avanzada” que la geometría plana, o la teoría analítica de números lo es con respecto a la teoría elemental. Su impureza radica en que la demostración geométrica introduce un vínculo (Ferreirós, ²⁰¹⁵, §3.7) entre prácticas matemáticas bastante elementales de por sí, que está ausente en una comprensión exclusivamente operacional de (1). Es la presencia de tal vínculo lo que la hace impura. Para empezar, a y b devienen en magnitudes (longitudes), por lo que tenemos un vínculo entre una práctica operativa “ciega” y una práctica técnica de medir (véase a este respecto Ferreirós, ²⁰¹⁵, §3). De este modo, en este vínculo entre prácticas, opera una interpretación dimensional del producto (cuadrado, rectángulo) que no tiene correlato en las operaciones algebraicas. Por último, la representación geométrica de (1) y su demostración, suponen la aceptación de principios sobre magnitudes, tal como la Noción Común 8 de los Elementos de Euclides (Heiberg, ¹⁸⁸⁴, p. 11), i.e. el todo es igual a la suma de sus partes, el cual tiene un rol fundamental en la demostración. Sin embargo, y aun cuando haya contextos (como en teoría de números) donde las demostraciones elementales puedan entenderse como demostraciones puras, lo sugerido arriba sobre la ecuación (1) indica que pureza y “elementariedad” no colapsan. Por lo tanto, no sería recomendable tomar estas observaciones de Detlefsen como indicio de una conceptualización más o menos general del valor de los métodos puros en la práctica matemática.

El segundo comentario concierne a la “virtud pragmática” que Detlefsen asocia con las demostraciones elementales. La idea de Detlefsen, de acuerdo con la cual la pureza favorece la división del trabajo por medio de la especialización, parece estar en consonancia con mi sugerencia de relacionar la búsqueda de la pureza con la construcción de teorías autónomas. Sin embargo, él pone el acento en la eficacia de las demostraciones puras para maximizar los recursos metodológicos para producir conocimiento, i.e. demostrar teoremas; por lo tanto, la pureza es una virtud específicamente de las demostraciones, que no está al servicio de la elaboración de teorías, sino al servicio de la eficacia en la obtención de nuevos resultados. En mi opinión, sin embargo, este énfasis en la eficiencia parece artificial; en efecto: la historia de, por ejemplo, la demostración elemental del teorema de los números primos es mucho mejor entendida como guiada por el interés de examinar la independencia de un resultado que aparentemente pertenece a un área “elemental” de la teoría de números, respecto del análisis complejo, que entenderla como la búsqueda de mayor eficiencia. Por lo tanto, mi sugerencia acerca de cómo entender las demandas de pureza parece ser más pertinente para entender la práctica matemática que Detlefsen considera que su propia idea de búsqueda de la eficacia.

Por último, consideremos brevemente la propuesta de Detlefsen y Arana (²⁰¹¹), de acuerdo con la cual las soluciones puras proveen un conocimiento estable. Lo que esto quiere decir, en pocas palabras, es que la solución perdura como tal, tanto tiempo como el contenido del problema permanezca inalterado. En otras palabras: no podemos rechazar la solución sin que, al mismo tiempo, disolvamos el problema (Detlefsen & Arana, ²⁰¹¹, §3). Aquí es más clara la cercanía con la noción de contenido informal: el mismo consiste en el conjunto de “compromisos” (definiciones, axiomas para primitivos, inferencias, etc.) que el agente acepta, y a partir de los cuales entiende la formulación del problema (Detlefsen & Arana, ²⁰¹¹, p. 13)²⁸. La “estabilidad” sería pues, la virtud de las soluciones puras, donde tales soluciones se entienden como “basadas solamente” en el contenido (“compromisos”) del problema. Sin embargo, es difícil decir que por esta cualidad epistémica es que las soluciones puras son valoradas en la práctica matemática. Los autores parecen ocuparse de identificar este valor como una “preferencia” observable en la práctica matemática. En particular, no se advierte una preocupación de vincular la característica “estable” con la sección documental en dicho trabajo (Detlefsen & Arana, ²⁰¹¹, §2), de forma tal que dicha sección aporte evidencia histórica en favor de entender el valor de las soluciones puras en términos de mayor estabilidad.

Haciendo un balance crítico del tratamiento que Detlefsen y Arana han hecho del desafío del valor, podría decirse que los mismos son aporéticos, en el sentido lato de que no parecen echar luz sobre la práctica matemática. En efecto, las observaciones de Detlefsen sobre Aristóteles y el papel de las demostraciones elementales se vería enriquecido si localizamos la predicación de pureza al nivel de la teoría, de acuerdo con 1). Por otra parte, en conformidad con 2) resulta que el interés matemático de las demostraciones elementales en teoría de números adquiere un contexto práctico natural cuando, de acuerdo con 3), atendemos a la preocupación por la delimitación (y con esta, la autonomía) del dominio de la teoría elemental de números. Nótese que aquí los resultados de independencia se entienden mucho mejor en términos de fecundidad matemática que cuando atendemos a cuestiones de eficacia.

6. Conclusiones y perspectivas

En este artículo no he procurado tanto desdeñar la concepción usual de la pureza, sino alentar la adopción de una concepción más hospitalaria que la incluye. En este sentido, el lector no tiene por qué apearse de la concepción usual si su interés radica en el estudio de demostraciones o soluciones; pues el punto de adoptar la concepción hospitalaria es fundamentar el valor de la predicación de pureza de las demostraciones localizando en las teorías el lugar fundamental de la pureza. Luego, el interés en la pureza de las demostraciones, definiciones, técnicas, etc., encontraría su fundamento en el interés por la construcción de teorías autónomas. Así pues, desde el punto de vista práctico, en la investigación que conduce a formar teorías la pureza del método puede emerger como una regla práctica. Por otra parte, y en virtud de la presentación sumamente esquemática de esta nueva concepción, no he pretendido tanto ofrecer evidencia directa en su favor, cuanto mostrar cómo las sugerencias que podemos encontrar en la literatura más destacada sobre la concepción usual pueden enriquecerse cuando se las aprecia desde la concepción hospitalaria.

Debido a la jerarquización del desafío del valor que he planteado, cabe la interrogante acerca de cómo queda planteado el desafío semántico. Un camino para abordar esta interrogante es sostener que las cuestiones semánticas surgen, en la práctica, dentro de la dinámica según la cual el agente asocia un significado o un pensamiento con representaciones, expresiones o lenguajes. El reto, por supuesto, es cómo ocurre tal cosa (Ferreirós, ²⁰¹⁵, p. 89). Un avance podría consistir en poner en el centro la actividad heurística; en efecto, parece muy natural pensar que el contenido cambia con la actividad heurística, y en particular, que nuestra comprensión de proposiciones matemáticas, por ejemplo, es gradual. En buena medida, nuestra comprensión parece estar fuertemente asociada con la inserción de un concepto, un teorema, etc., en un “tejido”, o una “red” de prácticas matemáticas y, por qué no, una teoría. Podría pensarse entonces, que cuanto más amplia es esta red, mayor comprensión ganamos del concepto; es decir, la comprensión y el significado son graduales. Me inclino por decir “gradualidad del significado” en vez de “gradualidad del acceso al significado” por la siguiente razón: lo segundo parecería conducir a sostener que los teoremas tienen un contenido implícito que en algún momento es revelado gracias a la investigación; pero en tal caso, cualquier teorema tiene a priori una demostración pura que eventualmente será “revelada” por la investigación futura. Esto va contra la intuición semántica nuclear.

El carácter dinámico del significado implica que la relación “intrínseco” también lo sea, tanto porque la geografía de las disciplinas cambia, como porque la investigación que conduce a la construcción de una teoría también puede alterar el significado de un concepto o enunciado. Esto es problemático y a la vez muy importante en virtud de que aquí se intersectan dos cuestiones: por un lado, si aceptamos que el contenido cambia en el curso de la investigación (la cual por hipótesis está guiada por una norma de pureza), ¿cómo en esa dinámica podemos caracterizar “intrínseco a”? Por otro lado, la investigación es una circunstancia óptima para la fecundidad matemática en general y la exploración de conexiones entre distintas áreas en particular. Retomando el escepticismo de Kreisel y Cellucci, resulta un verdadero desafío explorar la compatibilidad entre demanda de pureza y fecundidad matemática, entendiendo esta como el hallazgo de conexiones novedosas (y productivas). Pero el punto aquí no debiera ser la mera presencia de “conexiones”, sino también la manera en que las mismas se caracterizan; pues sin ir más lejos, la introducción de un sistema de coordenadas en una geometría es un caso claro de vínculo sistemático entre aritmética, álgebra y geometría. Una cuestión “purista” a este respecto es el papel que la noción de número desempeña en la coordinalización.

Hilbert, como otros matemáticos influidos por Gauss, consideraban que, epistemológicamente, la noción de número y los procesos recursivos eran “extraños” a la geometría (Hilbert, ^1891/2004, pp. 24, 55)^. Sin embargo, el camino a seguir no consistió en un rechazo a ultranza de los métodos de coordenadas, sino en ensayar métodos para introducir coordenadas “desde dentro” de la geometría. A tales efectos, el método axiomático de Hilbert permitió descubrir y exhibir conexiones internas o estructurales entre teorías matemáticas de muy diversa índole (Giovannini, ²⁰¹⁵, p. 193). Así pues, debemos atender a la manera en la que eventuales vínculos son caracterizados en el contexto práctico de las demostraciones que las suponen, pues dicho contexto es relevante para la comprensión que los agentes inscritos en el mismo tienen del teorema. En efecto, si la propuesta de la sección 3 es aceptada, entonces el escepticismo en cuestión empieza a perder peso. En definitiva, creo que el examen realizado en este artículo conduce a reorientar la indagación en torno a la pureza del método, en conexión con la práctica matemática de construcción de teorías autónomas.