2.1. Modelación Matemática

La modelación matemática en educación ha sido explorada desde distintas perspectivas, tal es así que en la literatura se encuentra una amplia cantidad de trabajos en el tema, donde destacan diferentes acercamientos a su enseñanza y a las actividades que la constituyen, para dar un ejemplo aquí describimos brevemente algunos de ellos. Según Niss, Blum y Galbraith (²⁰⁰⁷) un modelo matemático es una tríada (D, M, f) en la que D es un dominio de interés extramatemático, M es un dominio matemático y f es un mapeo de D a M. El ciclo de modelado es un proceso recursivo en el que los objetos, relaciones, fenómenos, suposiciones y preguntas en D se identifican y seleccionan como relevantes y luego se mapean en objetos pertenecientes a M. Dentro de M, las imágenes de objetos, relaciones, etc. provenientes de D se operan y, con base en los resultados obtenidos en M se traducen de nuevo a D y se interpretan como conclusiones sobre ese dominio. También suelen usarse representaciones diagramáticas para ilustrar los procesos cognitivos y procedimentales asociados a la modelación (^{Doerr, Ärlebäck y Misfeldt, 2017}). En otra perspectiva identificada por Kaiser y Sriraman (²⁰⁰⁶), el enfoque no está en el ciclo de modelación sino en el aprendizaje de conceptos matemáticos y el desarrollo de competencias con el fin de formar ciudadanos críticos y comprometidos con la sociedad.

Por otro lado, también se identifican dos perspectivas de la modelación, construcción de modelos y exploración de modelos (^{Doerr, 1995}). La primera refiere al proceso en el que los estudiantes desarrollan herramientas conceptuales para comprender un fenómeno o una situación real, operar las representaciones matemáticas e interpretar los resultados en términos de la situación de referencia. En la otra perspectiva, el resolutor explora las consecuencias de operar o modificar modelos ya estadarizados de algún fenómeno dentro de los límites definidos por los mismos para derivar consecuencias y tomar decisiones. Adicionalmente, suele hacerse una distinción entre modelación y aplicación de las matemáticas, esta última es caracterizada por la aplicación o uso de modelos ya desarrollados para estudiar situaciones específicas (^{Blum y Niss, 1991}). También, se hace una distinción en las actividades de modelación de acuerdo a sus objetivos, tipos y contexto de las tareas, competencias para los estudiantes, entre otros (^{Maaß, 2010}). Por añadidura, ^{Frejd y Bergsten (2018}) advierten que la expresión modelado matemático o modelación matemática puede referir tanto al concepto de modelación como a la actividad de modelar.

En el contexto escolar, la organización para la evaluación internacional estandarizada PISA (^{OCDE, 2013}) distingue, en un ciclo de modelación, los procesos matemáticos que un individuo pone en juego cuando resuelve problemas contextualizados: Formular (identificar oportunidades para usar las matemáticas), Emplear (aplicar conceptos y razonamiento matemático, manipular expresiones algebraicas y modelos) e Interpretar los resultados derivados de sus operaciones matemáticas. En la práctica, este es un enfoque que los profesores de matemáticas de secundaria siguen con frecuencia para cumplir con los requisitos de los estándares de evaluación nacionales e internacionales. Sin embargo, en diferentes países la interpretación de modelación en los currículos escolares tiene distintos enfoques (^{Borromeo, 2013}). Particularmente, en Chile las bases curriculares señalan (^{MINEDUC, 2015}):

[…] modelar es construir un modelo físico o abstracto que capture parte de las características de una realidad para poder estudiarla, modificarla y/o evaluarla; asimismo, ese modelo permite buscar soluciones, aplicarlas a otras realidades (objetos, fenómenos, situaciones, etc.), estimar, comparar impactos y representar relaciones. (p. 98)

Dada la variedad de puntos de vista desde donde se puede interpretar la modelación, en este trabajo no nos inclinamos por una postura en particular, sino más bien pretendemos observar aquellas perspectivas que se evidencian en las concepciones de los participantes.

2.2. Creencias y concepciones de los profesores

Al igual que en el caso de la modelación, las investigaciones en relación con las creencias y concepciones de profesores y estudiantes de matemáticas comprenden interpretaciones muy variadas. En cuanto a las creencias, existe una falta de consenso y precisión acerca de lo que constituyen, sobre su utilidad como predictores de la práctica docente y sobre los medios o herramientas apropiadas para obtener información acerca de este elusivo constructo (^{Skott, 2015}). Respecto a las concepciones sucede lo mismo, mientras que algunos investigadores las asocian con la imagen de un concepto (^{Furinghetti y Pehkonen, 2002}), otros investigadores las consideran como una noción más amplia o estructura mental que incluye creencias, significados, conceptos, reglas, imágenes mentales y preferencias (^{Philipp, 2007}) o como sistemas de creencias, puntos de vista, preferencias e imágenes mentales (Thomson, 1984). Estas dos últimas definiciones son más cercanas entre sí.

Por otro lado, las creencias se estructuran mediante relaciones complejas que involucran aspectos que pueden no solo estar directamente relacionados con las matemáticas, pero que determinan la interacción del docente con los estudiantes, los contenidos temáticos y la forma en que aborda la enseñanza (^{Thompson, 1992}). De manera que se observa una relación entre las creencias, el conocimiento y la gestión de los escenarios de instrucción, elementos que la noción de concepción acoge. Desde esta perspectiva, adoptamos la definición de Phillipp (²⁰⁰⁷), entendiendo a la modelación como una práctica matemática y como una estrategia de enseñanza. Donde las concepciones sobre la modelación dependen, en parte de las creencias con respecto a la naturaleza de las matemáticas (^{Ernest, 1989}) y en parte de las preferencias sobre las aproximaciones a la construcción del conocimiento. Esta postura nos permite, evitar la discusión sobre si las creencias forman parte del conocimiento del individuo (^{Ponte, 1994}), así de acuerdo con Frejd (²⁰¹²) y Frejd y Bergsten (²⁰¹⁸) hacer una distinción entre conocimientos, creencias, preferencias o imágenes mentales, no es objeto de discusión en este trabajo.

A pesar de la existencia de una amplia gama de trabajos relacionados con las creencias y concepciones de los profesores en formación sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, poco se ha profundizado en la exploración en relación con la modelación (^{Frejd y Bergsten, 2018}). En el caso de profesores con poca experiencia en actividades de modelación, Frejd (²⁰¹²) encontró que sus concepciones se asociaban con el diseño de un modelo matemático basado en una situación con un contexto de la vida real, por ejemplo la simplificación para describir “algo” con matemáticas, y parecían no dar prioridad a la integración de la modelación en sus clases de matemáticas del día a día. Además, este autor encontró que las concepciones observadas en un 60% de los participantes podrían ser un obstáculo para la implementación de la modelación en el aula de clase. En una investigación posterior, Frejd y Bergsten (²⁰¹⁸) determinaron cuatro aspectos clave relacionados al trabajo con modelación matemática y asociados a las concepciones de modeladores expertos (descripción, comprensión, abstracción y negociación) y con base en ellos propusieron algunos principios didácticos para el diseño de actividades de modelación. En investigaciones donde profesores y futuros profesores han tenido una formación específica para la enseñanza de la modelación, se han identificado cambios en sus concepciones relacionados con las características de las tareas de modelación y con las ventajas y desventajas de su implementación en el aula (^{Cetinkaya, et al., 2016}).

2.3. Los modelos de enseñanza

Dos aspectos muy cercanos a las concepciones del profesor son los modelos de enseñanza y aprendizaje que posee (^{Ernest, 1989}). Un modelo de enseñanza está constituido esencialmente por ideas que el profesor tiene acerca de la naturaleza y alcance de sus acciones en el aula, las cuales se manifiestan en las tendencias y orientaciones de enseñanza, dando prioridad a: lo investigativo, resolución de problemas, comprensión conceptual, el desarrollo de habilidades y combinaciones de estos. Por otra parte, un modelo de aprendizaje de las matemáticas, consiste de los puntos de vista que el profesor tiene sobre el aprendizaje de la disciplina, por ejemplo, qué comportamiento y actividades mentales involucra el aprendizaje. Los modelos de aprendizaje descansan básicamente en dos perspectivas: un punto de vista que apoya la construcción del conocimiento de manera significativa y un punto de vista que apoya el aprendizaje pasivo, como un receptor de conocimiento. Ernest (¹⁹⁸⁹) señala que un profesor con una visión dinámica de las matemáticas tendrá inclinación por aceptar y fomentar diferentes enfoques de solución de problemas en sus estudiantes. Mientras que un profesor con una visión estática tenderá a favorecer un único camino para resolver las tareas. La concepción del profesor respecto a la relación de la matemática con otras áreas del conocimiento juega un papel relevante en las tareas que propone, ya que considerar a las matemáticas como integradas o aisladas de otras áreas del conocimiento (^{Ernest, 1989}) se reflejará, por ejemplo, en los contextos en que se enmarcan las tareas: problemas con un contexto matemático, hipotético o real, problemas de palabras o actividades de modelación. De forma que, una manera de aproximarnos a la descripción de las concepciones de los futuros profesores es a través de la observación de la planificación de las tareas de enseñanza que proponen.

3.1. Los participantes

Para dar respuesta a las preguntas de investigación analizamos las respuestas a una entrevista semiestructurada, a una serie de cuestionarios y el diseño de tareas desarrollado por profesores de matemáticas en formación quienes cursaban la carrera de pedagogía en matemáticas en una universidad chilena. Consideramos dos grupos de estudio un grupo (M) conformado por seis participantes (M1, …, M6) quienes habían cursado aproximadamente la mitad de las asignaturas correspondientes a la carrera y otro grupo (E) también formado por seis participantes (E7, …, E12) que se encontraban en el último semestre de sus estudios (8º semestre). Al momento de la investigación ambos grupos realizaban una práctica docente, con una duración de 2 y 6 meses, respectivamente. Nos interesamos en estos participantes por las concepciones que cada individuo puede tener, pero también por aquellas que pueden ser sostenidas colectivamente en grupos con distinto avance en sus estudios. Los participantes de M fueron seleccionados de un curso con 17 estudiantes y los de E de un curso con 15 integrantes. La selección se basó, por un lado, en la disponibilidad de los individuos para participar en la investigación. Y por otro lado, los participantes debían haber realizado o estar realizando alguna práctica profesional. Este aspecto es importante debido a que la práctica profesional constituye el primer acercamiento del futuro profesor al rol de profesor.

Durante los primeros dos años de su formación, los estudiantes de pedagogía cubren ocho asignaturas de matemáticas, cuatro asignaturas de pedagogía y una de didáctica de la matemática. Al concluir su formación habrán cursado 45 asignaturas, correspondientes a: matemáticas (14), didáctica (5) y pedagogía (8); además de haber realizado tres prácticas profesionales en el aula. La primera práctica puede realizarse a partir del segundo año de estudios. La formación académica es un factor que puede influir en las concepciones en ambos grupos de estudio, en el sentido que durante los primeros dos años los estudiantes cursan asignaturas de matemáticas, impartidas por matemáticos, donde la modelación es conceptualizada desde la perspectiva del matemático, tal es el caso del grupo M. En particular, los participantes del grupo E han cursado mayor cantidad de asignaturas de didáctica, pedagogía y realizado prácticas profesionales, en donde reflexionan sobre las potencialidades y limitaciones de distintas estrategias enseñanza. En las instancias de práctica profesional y en otros cursos, los participantes han diseñado diversas tareas orientadas principalmente a la enseñanza de distintos objetos matemáticos señalados en el currículo escolar. Estas tareas normalmente parten de una situación significativa para el estudiante, pero en realidad dependen del modelo de enseñanza del docente. Por otro lado, los programas de estudio de la pedagogía no explicitan la modelación como contenido a enseñar. Estas condiciones nos permiten capturar las concepciones que construyen los participantes en dos etapas distintas de su formación académica.

3.2. Las comunidades de práctica

Si bien es cierto que las concepciones son personales, y la mayoría de las investigaciones estudian los cambios que tienen lugar en ellas después de alguna intervención didáctica, observando al mismo grupo de individuos en diferentes momentos (^{Cetinkaya, et al., 2016}), nosotros estudiamos las concepciones en dos grupos distintos de participantes, donde sin perder de vista la individualidad, consideramos un estudio colectivo de casos (^{Stake, 1999}). Esta idea se apoya en las características que definen una comunidad de práctica: el dominio, la comunidad y la práctica (Wenger, 1999). Nos referimos a la comunidad de práctica en el sentido de que un grupo de futuros profesores participa de una red de conexiones con una identidad definida en torno a un mismo dominio de interés (didáctica, pedagogía y matemáticas). En la que los participantes comparten experiencias, reflexiones y aprenden unos de unos en un mismo entorno social. Asimismo, los miembros de un grupo construyen, en colaboración, un conjunto de recursos, tales como conocimiento sobre las matemáticas, experiencias y herramientas para la enseñanza. Y las interacciones dentro del grupo favorecen que los participantes expongan una postura respecto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, de manera que el individuo incorpora gradualmente, conscientemente o inconscientemente, a su sistema de creencias algunas de las ideas expresadas por los otros miembros de la comunidad o incluso desarrolla un criterio con relación a las opiniones divergentes.

3.3. Recogida y análisis de la información

La recogida de información se realizó a mediados del cuarto semestre para el grupo M y a mediados del octavo semestre para el grupo E por los autores, al mismo tiempo que uno de ellos guiaba la práctica de los dos grupos. Toda la información se recogió en forma digital de acuerdo a lo siguiente.

Atendiendo a la importancia de contar con diferentes criterios para la triangulación de datos (^{Denzin, 1978}), diseñamos e implementamos distintos instrumentos que nos permitieran validar la información: (1) Una propuesta escrita de enseñanza basada en información sobre la metabolización del alcohol en el organismo, obtenida de una página de internet http://www.ojocientifico.com/4190/cuanto-tiempo-dura-el-alcohol-en-la-sangre (Anexo A), (2) un cuestionario y entrevista semiestructurada sobre las características de la tarea, (3) Cuestionarios tipo Likert sobre objetivos y habilidades relacionados con la modelación (anexos B, C y D), e (4) información institucional como los historiales académicos de los participantes y los programas de estudio. Los instrumentos de los puntos (2) y (3) fueron sometidos a validación por juicio de dos expertos, uno en modelación y un profesor-investigador encargado de la práctica profesional. Además, los diversos instrumentos de recogida de información contribuyen a la observación de distintos matices que dan forma a las concepciones, en el sentido de Denzin (¹⁹⁷⁸), observando lo que la gente piensa o cree y lo que hace, constituyendo adicionalmente una herramienta para triangulación de datos.

La recogida de información se organizó en dos etapas. En la primera etapa los participantes trabajaron individualmente en el diseño de una situación de enseñanza, tomando como base la información expuesta en el anexo A. Para el diseño de la tarea, los participantes determinaron los objetivos de enseñanza, la modalidad, el tiempo de implementación, las trayectorias de solución esperadas, así como el nivel educativo donde sería implementada. De esta forma se logró que todos los participantes trabajaran alrededor de un mismo contexto, a la vez que se evidenció la toma de decisiones respecto a la demanda cognitiva, estrategias de solución y representaciones matemáticas en las tareas que diseñaron, develando así elementos del modelo de enseñanza sostenido por cada uno (^{Ernest, 1989}). Adicionalmente respondieron en forma escrita a las preguntas: ¿Cómo modificarías el enunciado? ¿Qué preguntas podrías plantear? ¿Es posible encontrar por lo menos dos rutas de solución? ¿Qué habilidades esperarías que desarrollen los estudiantes al resolver la tarea? Los instrumentos utilizados en esta etapa nos permitieron identificar los aspectos más relevantes que son considerados en el diseño.

La segunda etapa consistió de una entrevista semiestructurada, en donde los participantes explicaron sus razones y motivaciones para diseñar la tarea en la forma en que lo hicieron, para ello nos guiamos en preguntas de carácter más general como: ¿Qué significa modelizar?, ¿Qué habilidades deberían dominar los estudiantes? y ¿Para qué deberían los alumnos aprender matemáticas? En esta etapa, los participantes respondieron a los cuestionarios B, C y D. A partir de estos cuestionarios exploramos las concepciones sobre la enseñanza de las matemáticas y la modelación que se asociaban a la propuesta didáctica que diseñaron.

3.4. Análisis de datos

Para el análisis de datos, consideramos inicialmente un sistema de categorías sobre las concepciones relacionadas con la modelación y las aplicaciones establecido a partir de la revisión de la literatura (^{Chapman, 2006}; ^{Frejd, 2012}). Debido a la gran cantidad de información obtenida decidimos observar las concepciones con una mirada transversal, de manera que la atención se centró en: (1) el significado que otorgan al término modelación, (2) las concepciones sobre el papel de la modelación en el aula de clase y (3) las características de las tareas de modelación.

Las unidades de análisis se definieron con base en el objetivo de investigación y están constituidas por segmentos del texto de las producciones escritas y de las transcripciones de las entrevistas. Una vez que se determinaron las ideas más importantes asociadas a los elementos establecidos en los puntos 1, 2 y 3, señalados en el párrafo anterior, buscamos las relaciones entre ellas para formar un esquema de concepciones para cada uno de los grupos. Para la codificación se consideraron aquellos elementos que mostraran indicios de la pertenencia de las afirmaciones a determinada categoría, por ejemplo si consideran a la modelación como motivación para el aprendizaje de las matemáticas, como objetivo central del proceso de instrucción o como herramienta para ilustrar los contenidos matemáticos. En este contexto, también consideramos las estrategias de enseñanza a las que dan mayor relevancia: metacognitivas, técnicas de solución de problemas, y/o uso de problemas de la vida real para introducir el estudio de tópicos matemáticos (^{Chapman, 2006}), de esta manera nuestras categorías se fueron concretando para describir las concepciones de acuerdo a la siguiente proyección (Figura 1).

Figura 1 Categorías que describen las concepciones sobre la modelación de futuros profesores de matemáticas 

4.1. El significado de la modelación

La codificación de las respuestas de los participantes nos llevó a la identificación de cuatro temas relacionados con el significado que otorgan a la modelación. En particular, en las respuestas a la pregunta ¿qué significa modelar?, presentada en la entrevista semiestructurada, identificamos las concepciones de los profesores en formación con respecto al modelado, donde destacan cuatro aspectos principales: modelación como un medio de representación (Representación); modelación como aquellas actividades que pueden ser relacionadas con la solución de un problema en un contexto particular (Contexto); modelación como una actividad asociada a un objetivo (Objetivo), y la modelación asociada a las fases o procesos que la constituyen (Proceso). Estos se presentan a continuación.

Modelos matemáticos como una representación semiótica y modelación como una actividad representacional. En este tema se agrupan aquellas respuestas en donde los participantes reconocen a la modelación como una acción que conduce al planteo de un modelo matemático dado por una representación matemática, también destaca la identificación de la relación de un modelo con una representación matemática. La mayoría de los integrantes de M relaciona un modelo con una representación gráfica, mientras que los participantes de E lo relacionan con una representación algebraica, haciendo referencia a la idea de función. Ambos grupos señalan que un modelo involucra una relación entre variables. Los integrantes del grupo M lo hacen de manera implícita y los del grupo E lo explicitan con mayor frecuencia. Además, los integrantes del grupo E reconocen a la modelación como la acción de representar con elementos matemáticos. Mostramos a continuación dos respuestas representativas.

Modelación como un proceso esta concepción se observó en ambos grupos, asociado al tránsito entre la Situación que se desea explorar y un Modelo Matemático. Los participantes del grupo M consideraron que un modelo está compuesto por un conjunto de datos, que son manipulados u operados para obtener información sobre una situación. Los participantes del grupo E consideraron que un modelo esta constituido por una expresión algebraica y el modelado consiste en manipular una ecuación o función con el objetivo de resolver un problema de la vida real o una situación puramente matemática.

Los participantes de ambos grupos hacen referencia a un proceso reconociendo elementos asociados al mundo de la realidad y al mundo de las matemáticas, pero no mencionan las fases que constituyen el ciclo de modelación (^{Doerr, Ärlebäck y Misfeldt, 2017}). Por otro lado, los participantes de E refieren a un ciclo que podría tener el carácter Contexto-Modelo-Contexto, mientras que la mayoría de los participantes en M refieren al tránsito Contexto-Modelo, resultados que concuerdan con las investigaciones de ^{Crouch y Haines (2007}) quienes al observar la actividad matemática en modeladores expertos y novatos, encontraron que los novatos consideraban al proceso de modelación como lineal, no así los expertos. Este hecho también puede estar relacionado con la utilidad u objetivo que los individuos asignan a la modelación y las conexiones que establecen entre ésta y las matemáticas, como se discute líneas adelante.

Objetivo de modelar. En este tema se agrupan aquellas respuestas que hacen referencia a los objetivos de las actividades de modelación, por ejemplo comprender, describir y predecir. La mayoría de los participantes del grupo E muestra una tendencia pragmática hacia el modelado como un medio para interpretar, conocer, comprender, explicar, responder y tomar decisiones.

Los integrantes del grupo M al parecer consideran que modelar es un proceso cuya finalidad es representar algunas características del fenómeno, como se mostró en líneas anteriores (M1, M5), lo cual podría denotar una visión esquemática de la modelación (^{Kaiser, 2006}), asociada a una perspectiva instrumentalista sobre la naturaleza de las matemáticas (^{Ernest, 1989}). Los participantes del grupo E evidencian preferencias por el trabajo con representaciones algebraicas cuya finalidad es ayudar a la gente a comprender una situación, mostrando con ello una inclinación hacia lo formalista y el modelo es considerado como una herramienta para responder cuestionamientos. Las diferencias en las concepciones entre ambos grupos puede originarse en las creencias que tienen sobre la aplicación de las matemáticas o con su visión de la modelación como un proceso útil para resolver problemas (^{Ernest, 1989}).

El contexto de las tareas de modelación. Los participantes, en general, no mostraron preferencia por algún tipo de contexto (hipotético, real, social, matemático). Los miembros del grupo M, en su mayoría, hacen referencia a una “situación” sin explicitar el tipo de contexto que podría tener. Quienes refieren a un contexto (la mayoría miembros de E) sitúan una problemática en entornos sociales, culturales, cotidianos y de la naturaleza. Para los participantes el contexto que da lugar a un proceso de modelación puede ser asociado con todo aquello que se encuentre fuera del mundo de las matemáticas.

Los resultados anteriores se resumen en la siguiente tabla (Tabla 1).

4.2. Las características de las tareas de modelación

Una manera de anticipar las características de la práctica de enseñanza es a través del análisis de los aspectos que los futuros profesores consideran relevantes en el diseño de las tareas (^{Simon y Tzur, 2004}). A continuación se discuten los resultados de analizar el reporte escrito y la entrevista semiestructurada que evidencian la planificación de una tarea de enseñanza y la actividad esperada de los estudiantes. Analizamos la formulación de la tarea, las preguntas planteadas y los caminos hipotéticos de solución asociados a la tarea.

Antes de pasar al análisis de las tareas, se comentan algunos puntos clave para abordar el estudio de la situación que sirvió de base para el diseño de la tarea (Anexo A). Se debe conocer, la cantidad de alcohol presente en distintas bebidas, las proporciones entre volumen de bebida y alcohol consumido, las unidades de medición de la alcoholemia (gramos del alcohol/litro de sangre). Además, si la intención es la construcción o exploración de modelos matemáticos para describir o predecir el comportamiento del fenómeno, debería conocerse que la concentración de alcohol puede aproximarse mediante una función lineal considerando los gramos de alcohol consumidos y que la concentración de alcohol en un individuo posterior al consumo puede calcularse mediante C=d/m.r (C- la concentración máxima en el cuerpo (g/l), d- la dosis de alcohol (g), m- peso del individuo (kg), r- constante de distribución del alcohol en el cuerpo (l/kg)). Para abordar el diseño de la tarea los participantes fueron incentivados a investigar esta información. Describimos a continuación las características de las tareas diseñadas.

Formulación de la tarea y actividad intencionada. Los integrantes del grupo M, en general, no propusieron modificaciones relevantes al texto que se les presentó, redujeron la información presentada e identificaron los datos importantes. Mientras que los miembros del grupo E filtraron y organizaron la información en el texto. La mayoría de los participantes en E introdujo el uso de variables y propuso un modelo matemático (por ejemplo E11 líneas adelante) para describir la situación de referencia. A continuación se muestran dos ejemplos del texto presentado por E1 y E2.

Por otro lado, dos de los seis participantes (M2, M3) de M propusieron explícitamente la construcción de un modelo matemático para representar la situación, pero no dieron continuidad al proceso de solución que conduciría a la construcción del modelo. Por ejemplo M2 planteó la siguiente pregunta:

El resto del grupo (M) se enfocó en favorecer el desarrollo de cálculos aritméticos para inferir resultados sobre el tiempo o la cantidad de alcohol. En la mayoría de las preguntas planteadas por ambos grupos, destaca la exploración de relaciones de proporcionalidad, por ejemplo “¿cuántas unidades de alcohol tienen 500 ml. de cerveza?”. También se observa que las preguntas tienen una intencionalidad predictiva.

En las preguntas que los integrantes de E propusieron se observa una preferencia hacia el estudio de funciones lineales y la actividad se dirige a la inferencia de resultados con base en el estudio de un modelo explícito, algebraico o gráfico (E11). Mientras que los integrantes de M consideraron un modelo matemático, pero en forma implícita, es decir la presentación de la información en la tarea obedece a un comportamiento lineal, sin mostrar la expresión matemática correspondiente (M6). Los siguientes fragmentos del texto del informe escrito ilustran lo anterior.

Trayectorias de solución previstas. Aunque se pidió a los participantes analizar al menos dos caminos de solución para la tarea que plantearon, sólo dos miembros de cada grupo resolvieron la tarea completamente. Los integrantes del grupo M (M1 y M2) centraron la atención en las relaciones de proporcionalidad, mientras que los del grupo E (E7 y E11) propusieron sustituir valores en una expresión algebraica. Esto se puede observar en los siguientes ejemplos donde M2 y E11 describen el proceso de solución.

Demanda cognitiva. Observamos la demanda cognitiva de las tareas a partir de la actividad que los participantes proponen para los estudiantes. Sin embargo, lejos de proponer tareas con múltiples estrategias de solución, distintas representaciones y, que favorecieran la explicación y justificación de los procesos desarrollados (^{Henningsen y Stein, 1997}), encontramos que dichas tareas fomentan el uso de procedimientos algorítmicos, tales como el cálculo de proporciones y la sustitución de un valor en una expresión matemática dada, actividades que son más cercanas a la resolución de un ejercicio que a un problema de modelación (^{Greer, 1997}). Esto se evidencia en las respuestas de M4 y E8 quienes señalan de manera muy general como debería abordarse la tarea:

Del análisis anterior, se identifican cuatro temas asociados a las concepciones de los futuros profesores y relacionados con el diseño de tareas. En primer lugar, la manera en que replantean la situación, evidencia que identificar información relevante es un factor relevante para los participantes de ambos grupos. Sin embargo, también muestra una debilidad en el conocimiento extramatemático y pedagógico para el diseño de actividades de aprendizaje basadas en modelación, puesto que no se reconocen los procesos de interpretación y reinterpretación de la realidad (^{Doerr, Ärlebäck y Misfeldt, 2017}), tampoco se observa alguna intencionalidad para el desarrollo de competencias de modelación (^{Maaß, 2010}). Si bien, los participantes reconocen que la realización de inferencias y, la construcción y exploración de modelos matemáticos deberían estar presentes, en la tarea diseñada se refleja mas bien un énfasis en el trabajo aritmético. Por tanto, nos encontramos ante un dilema entre lo que los participantes expresan que debería hacerse, en contraste con lo que se evidencia en la tarea que diseñan. La manera en que reescriben la tarea, el tipo de actividades y las soluciones que prevén dan cuenta de concepciones más cercanas a la resolución de problemas de palabras. En la siguiente tabla (Tabla 2) se resumen los temas asociados a la concepción sobre las características de las tareas de modelación.

Observamos, en ambos grupos, preferencias por favorecer actividades como la identificación de variables y relaciones para representar matemáticamente una situación, obviando aspectos como la simplificación e idealización y la comprensión de las relaciones entre el lenguaje del contexto y el simbolismo matemático. Al comparar las preguntas y los procesos de solución que los participantes muestran, se observa que el grupo M se enfoca en el desarrollo de cálculos aritméticos y el grupo E en las manipulaciones simbólicas. Los participantes de ambos grupos raramente refieren a actividades que conduzcan a la generalización o reflexión sobre argumentos matemáticos, soluciones y conclusiones, menos aún consideran la interpretación de los resultados en términos del contexto. Los argumentos del grupo E, al señalar las habilidades pertinentes a desarrollar, son más descriptivos, hecho que nos permite inferir que consideran la construcción y/o aplicación de un modelo matemático, pero esto no se hace evidente en las tareas que proponen. También emerge la idea relacionada con la enseñanza de las matemáticas para el desarrollo de habilidades sociales y para enfrentarse a situaciones de la realidad e interdisciplinares. Los miembros del grupo E plantean el desarrollo de habilidades en un formato acorde con los programas de estudio, donde es clara la influencia que ha tenido su paso por la universidad.

4.3. El papel de la modelación en el aula

Complementamos el análisis del reporte escrito con las respuestas al cuestionario del anexo B donde identificamos las habilidades que los participantes esperan que sus futuros estudiantes desarrollen. Para mejor visualizar la distribución de preferencias los datos se categorizaron en tres niveles: menor acuerdo, acuerdo medio y mayor acuerdo. Los miembros del grupo M se muestran más de acuerdo que los miembros del grupo E en que la tarea favorece el desarrollo de habilidades para interpretar y emplear las matemáticas (items b, c), las diferencias en el porcentaje de acuerdo entre los participantes están dadas por 33.3% y 50%, para cada item. La dificultad encontrada para construir un modelo por parte de los participantes (66.7%) del grupo M, es reflejada al considerar que el contenido matemático es relativamente complejo (item f), razón por la cual podrían considerar que es importante darle mayor orientación al estudiante durante el proceso de solución (item e, 66.7%). Aproximadamente, el 66.7% de los miembros del grupo E, considera que el contenido matemático implicado en la tarea es poco complejo. De aquí podemos interpretar que las concepciones de los futuros profesores respecto a la enseñanza de la modelación podrían forjarse a partir de consideraciones respecto a la complejidad o dificultad que ellos mismos encuentran en la resolución de tareas o situaciones problemáticas.

Los datos obtenidos del instrumento C (anexo C) se presentan categorizados de acuerdo a tres niveles: menor importancia, importancia media y mayor importancia. En una perspectiva más general, al indagar sobre el rol que deberían tener las tareas de modelación en el aula de clases, encontramos que aproximadamente el 83.3% de los participantes del grupo M otorgan mayor importancia a que los estudiantes aprendan a establecer relaciones entre el mundo real y las matemáticas (item 5). El desarrollo de habilidades cognitivas (item 6) es apoyado en mayor importancia por el 66.7% y el aprendizaje de las matemáticas en la forma en que fueron desarrolladas es apoyado por el 16.7% de los participantes. Mientras que el 83.3% de los miembros del grupo E, otorgan mayor preferencia al desarrollo de habilidades cognitivas (item 6), las habilidades de carácter pragmático como lo es resolver problemas de la vida real (item 1), son apoyadas en mayor importancia por el 66.7 % y menor preferencia es otorgada al aprendizaje de las matemáticas y las ciencias en forma conjunta (item 2, 16.7%). En cuanto al aprendizaje del proceso para resolver problemas que se presentan con un contexto, el 50% de ambos grupos le otorgan similar importancia. Los aspectos socio-críticos e histórico-epistemológicos tienen menor preferencia (item 3 y 4) para el 83.3% y 66.7% de los participantes. De lo anterior, parece ser que los participantes del grupo M mantienen una visión más global sobre el rol de la modelación como herramienta para entender el mundo y resolver problemas de la vida real y los miembros del grupo E se enfocan más en el desarrollo de habilidades cognitivas. Estas diferencias podrían deberse a que los participantes del grupo E se encuentran en la fase final de su proceso de formación y tienden a reflexionar con mayor profundidad sobre el tipo de actividades que potencian un aprendizaje significativo.

Las percepciones sobre la utilidad de la modelación (anexo D) en el aula de clase son muy parecidas en ambos grupos (M y E). Ambos grupos consideran en primer lugar a la modelación como medio para el desarrollo de conceptos matemáticos, en segundo lugar como estrategia de enseñanza, en tercer lugar como motivación y finalmente como parte del currículo. Estos aspectos se ven poco reflejados en las propuestas de enseñanza elaboradas en el grupo M, debido a que se centran más en la observación de las relaciones presentes sin referir a los conceptos matemáticos implicados, no así los miembros del grupo E quienes hacen referencia explícita a conceptos como función, ecuación, solución de una ecuación y extrapolación.