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INTRODUCCIÓN
En el paradigma de enseñanza hoy dominante en la escuela secundaria, el cuestionamiento del saber, las preguntas que le dieron origen, las respuestas a dichas preguntas y los aspectos que evidencian la utilidad inherente de las matemáticas a todo nivel en la sociedad, son poco frecuentes. Contrariamente, predomina la práctica de la repetición y de la “definición”, que consiste en reproducir lo que el profesor explica, establece o enuncia. Incluso, la mera enunciación arbitraria de los “pasos” para resolver una ecuación, para aplicar una fórmula, cuyo origen se desconoce y nadie cuestiona, o para realizar una tarea, se aceptan como explicaciones, que claramente no son tales. Los estudiantes son así convocados a repetir sin cuestionamiento alguno, de manera más o menos precisa lo que el profesor ha “mostrado”.
Particularmente el estudio de las ecuaciones lineales en dos variables y funciones de primer grado en una variable, que son objeto de interés en este trabajo, se tratan ignorando los aspectos geométricos y las equivalencias entre las ecuaciones. En su lugar,el estudio solo se enfoca en el objeto algebraico función, considerando una sola forma posible de dependencia“causada” por la variación de la variable independiente, que se consideracomo universal, en lugar de ocasional. Esta decisión didáctica, tiene consecuencias bastante negativas para la enseñanza del álgebra, que en general sucede después, reducida a la “introducción al lenguaje algebraico” y a la resolución de ecuaciones elementales.
El álgebra escolar ha sido uno de los temas centrales tratados por Chevallard en la formulación de la teoría de la Transposición Didáctica precursora de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD). En diversos trabajos, Chevallard (1984, 1989, 1990, 1994) propone una enseñanza del álgebra que deje de lado su deslucido papel como generalización de la aritmética y que se la considere como un instrumento de modelización. Posteriormente, los trabajos de Gascón (1993, 1999), Bolea (2002) y Bolea, Bosch y Gascón (2001) que retoman y profundizan las ideas anteriores, originando nuevas investigaciones como la de Ruíz Munzón (2010) y Gascón, Bosch, Ruiz-Munzón(2017) vinculadas a la modelización algebraico funcional.
A pesar de todo el conocimiento didáctico acumulado, la enseñanza del álgebra en la escuela secundaria continúa realizándose como unageneralización de la aritmética, donde las técnicas algebraicas “surgen” a partir de las técnicas aritméticas de resolución de problemas verbales, identificando así al álgebra con el “lenguaje algebraico”. Las letras se utilizan para reemplazar los números propuestos como incógnitasen algún problema o como resultado de ecuaciones, que en su mayoría tienen solución. También las letras aparecen en la denotación de las funciones, ocupando el lugar de la variable, pero sin una problematización real de su dominio de definición. Las fórmulas se reducen a meras reglas para realizar cálculos numéricos, no se proponen como el resultado de cálculos algebraicos ni conducen a la generación de nuevos tipos de problemas(Gascón, Bosch, Ruiz-Munzón, 2017).
En este trabajo se propone un REI que busca promover la modelización algebraica en la escuela secundaria, conforme a las investigaciones realizadas en el marco de la TAD. Se utiliza una pregunta de potencial interés para los estudiantes que se refiere a cómo gestionar un kiosco instalado en la escuela, para que dé ganancias a sus administradores: los estudiantes. Nuestro equipo ha desarrollado varios REI para la escuela secundaria (Gazzola 2018; Llanos y Otero, 2013, 2015; Otero, Llanos, Gazzola, 2012; Otero, Llanos, Arlego, Gazzola, 2017; Salgado, Otero,2020) en el que se presenta aquí se abordan las obras relativas a las afinidades y ecuaciones lineales, con énfasis en los aspectos algebraicos y geométricos.
MARCO TEÓRICO
Se adopta el referencialde la TAD (Chevallard,1999, 2005, 2007, 2009, 2012, 2013) y algunas de sus nociones fundamentales como la de praxeología, que designa a un modelo único, con el cual, es posible modelar cualquier actividad humana regularmente realizada (Chevallard, 1999). La palabra regularmente, significa que una praxeología no es algo fortuito, sino que es realizado con relativa continuidad y tampoco es, una actividad individual. La noción de praxeología expresa el carácter antropológico y pragmático de la TAD (Otero, 2021). La palabra alude a dos niveles: el de la praxis, o saber hacer, compuesto por los tipos de tareas y cuestiones que se estudian, así como las técnicas que se emplean para resolverlas; y el del logos o saber, que se construye para dar razón o justificar el saber hacer, constituido por las tecnologías que justifican a las técnicas, y las teorías que justifican a las tecnologías.
Otra noción central ya formulada por Chevallard en 1989 ha sido la de modelizaciónmatemática, de manera que toda actividad matemática, es considerada una actividad de modelización. La modelización supone, por un lado, la existencia de un sistema, matemático o no, y un modelo matemático de ese sistema. El proceso se desarrolla en tres etapas: 1) se define el sistema a estudiar, se analizan los aspectos más importantes del sistema como las variables en juego y el “dominio de realidad” del fenómeno en cuestión; 2) se construye un modelo matemático, estableciendo relaciones entre las variables y 3) se trabaja en el modelo con el fin de producir conocimiento matemático relativo al sistema estudiado. De esta manera el proceso de modelización algebraico funcional tendrá lugar cuando se construyan modelos algebraicos que permitan el estudio de parámetros y variables, variación de parámetros, intercambios de parámetros y variables y relaciones funcionales entre magnitudes de las variables (Otero, 2021).
El paradigmade la investigación y del cuestionamiento del mundo es propuesto por Chevallard en la TAD, como alternativa a la pedagogía dominante. Los REI son dispositivos didácticos que permiten conservar las características del nuevo paradigma. Parten de una pregunta generatriz Q 0, tal que la construcción de una posible respuesta conduce a analizar preguntas derivadas de Q 0 en función de las necesidades de conocimiento generadas por el estudio de la misma, y también en función de las decisiones tomadas por el grupo de estudio (Chevallard, 2013). Algunos ejemplos de preguntas generatrices son: ¿Cómo hacer un cálculo tratándose de números que incluyen muchas cifras?, ¿Cómo determinar la distancia entre dos puntos, accesibles o no, del espacio topográfico?, ¿Qué fuerza ejercer para vencer una resistencia dada?, ¿Cómo determinar uno u otro elemento de una figura trazada en una hoja cuando algunos de sus elementos útiles caen fuera de esa hoja?, ¿Cómo determinar el costo de utilización de un teléfono celular en función del uso que se hace de él? (Chevallard, 2013).
Para responder la pregunta ¿En qué consiste estudiar una obra? la TAD ha desarrollado un modelo, al que ha denominado Herbartiano. Es importante recordar aquí, que las preguntas son también obras fundamentales, creadas útilmente por los hombres (Otero, 2021). Dicho modelo explicita lo que sucede cuando un estudiante x o una clase X estudia una pregunta Q con la supervisión de Y, o cuándo un investigador ξ, o un equipo de investigación Θ estudia una pregunta Q posiblemente con la supervisión de un director de investigación ζ, o un conjunto de directoresΖ, formalmente se escribe:
S (X; Y; Q)(R (1)
La notación utilizada en (1), indica que cuando se explora una pregunta Q, el sistema didáctico o el sistema de investigación debe producir una respuesta R (indicado con la flecha() (Chevallard, 2009). La respuesta suele escribirse con un corazón R♥, para destacar que dicha respuesta estará en el corazón del sistema didáctico, y que durante un tiempo será la respuesta “autorizada” a Q. Una respuesta no es solo una afirmación, sino una praxeología.
S (X; Y; Q) (R♥(2)
El símbolo ♥ en el exponente de R, representa la relatividad institucional del saber. Es decir que la respuesta se produce bajo determinadas condiciones y limitaciones propias de esa institución. La elaboración de R♥ a partir de Q supone entonces una “fabricación”, por parte del sistema S, de un medio didáctico M para explorar y construir la respuesta a Q. Los estudiantes o investigadores recolectan diversos instrumentos materiales o no. Esto conduce al denominado esquema Herbartiano semidesarrollado:
{S (X; Y; Q) ( M} (R ♥(3)
La respuesta a Q se elabora siguiendo el modelo que propone el esquema herbartiano desarrollado (4), que Chevallard (2013) utiliza para definir el constructo REI. El estudio de Q es realizado por un grupo de estudio X, bajo la dirección de un profesor y, o de un equipo de profesores Y, generando un sistema didáctico S (X; Y; Q). El medio M, está formado por preguntas derivadas del estudio Qique pueden ser introducidas por los estudiantes o también por el profesor, respuestas preestablecidas R◇ previamente construidas a las cuales se puede tener acceso en la web, libros, textos del profesor, etc.; y obras Oj como teorías, praxeologías, conocimientos previos que permiten producir una respuesta posible a Q. (Otero, 2021). El esquema Herbartiano desarrollado (Chevallard, 2009) es:
[S (X; Y; Q)( 𝑅 1 ( , 𝑅 2 ( , …, 𝑅 𝑛 ( , 𝑄 𝑛+1 , …, 𝑄 𝑚 , 𝑂 𝑚+1 , …, 𝑂 𝑝 , 𝐷 𝑝 , ...𝐷𝑞 ] (R ♥ (4)
EL REI
La Pregunta generatriz y sus preguntas derivadas
A partir de la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo administrar el kiosco de la escuela para obtener ganancias? surgen nuevas cuestiones derivadas Qi que conforman la arborescencia de preguntas característica de un REI. El estudio y la investigación de cada una de ellas, convoca el tratamiento de diferentes praxeologías incluidas en el diseño curricularde la institución donde se prevé implementar este REI. La adaptación del dispositivo a una cierta institución, conduce a proponer un REI “finalizado” pues se busca enseñar los saberes del programa de una escuela preuniversitaria en particular. En la Figura 1, se sintetizan algunas de las preguntas que podrían generarse y las OM o praxeologías vinculadas a las mismas, con el objetivo de mostrar el alcance del REI.
El estudio de Q 0 conduceaQ1: ¿Cómo calcular el precio de compra de los productos para cualquier cantidad que se quiera comprar? Para responder aQ1se establecen los parámetros y las variables que permitirán formular las ecuaciones lineales en dos variables asociadas, en este caso, al precio de compra de los productos.
Inicialmente, se consideran parámetrosalprecio de los productos: 𝑃 𝑐 , 𝑃 𝑐 ∈ 𝑅 + y al envío: 𝑒, 𝑒∈ 𝑅 + . Se consideran variables a la cantidad a comprar: 𝑐, 𝑐∈ 𝑅 + (podría considerarse,𝑐∈𝑁para el caso de los productos que se venden por unidad) yal valor total de la compra en pesos: 𝐶, 𝐶∈ 𝑅 + . La ecuación que vincula los parámetros y las variables definidas es:
La ecuación que permite calcular el valor total de la compra de cada producto para cualquier cantidad es:𝐶= 𝑃 𝑐 ∙𝑐+𝑒 (R1).Esta ecuación es una Ecuación lineal en dos variables(𝑐,𝐶). En el modelo hallado, 𝑃 𝑐 es un parámetro que representa a un conjunto de posibles valores de 𝑝, no es un valor fijo, por el contrario, forma parte de un modelo que representa cualquier compra que se quiera hacer. Lo mismo sucede con 𝑒.
También se plantea Q2: ¿Cómo calcular el precio de venta de los productos? Para responder a Q2 se definen los parámetroscoeficiente de ganancia: 𝑘, 𝑘𝜖 𝑅 + y precio de venta: 𝑃 𝑣 =𝑃 𝑐 ∙𝑘 , 𝑃 𝑣 𝜖 𝑅 + , y las variablesvalortotal de la venta:𝑉, 𝑉𝜖 𝑅 + y cantidad vendida: 𝑐, 𝑐∈ 𝑅 + . La ecuación resulta,
La ecuación para calcular el valortotal de la venta de cada producto para cualquier cantidad es:𝑉= 𝑃 𝑣 ∙𝑐 (R2). La ecuación hallada es también una Ecuación lineal en dos variables(𝑐,𝑉).
Para Q3: ¿Qué ganancia se obtiene al vender cada producto?, se define la variable ganancia: 𝐺, 𝐺𝜖𝑅. Considerando,
La ecuación (5) permite calcular la ganancia que se obtiene al vender cualquier cantidad de cada (R3). Es unaEcuación lineal en dos variables(𝑐,𝐺).
Cada una de las ecuaciones anteriores tiene asociada una Funciónafíndefinidade 𝑅→𝑅. Si bien en losmodelos hallados la variable independiente representa una cantidad (positiva y en algunos casos discreta),es posible estudiar las afinidades con dominio en los reales e interpretar sus soluciones en el contexto del kiosco.
De Q3 deriva Q3.1: ¿Cuántas unidades deben venderse para que haya ganancia? Para calcular la cantidad de productos que se necesitan vender para obtener ganancias se debe plantear 𝐺>0, de lo contrario habría pérdidas.
Siendo 𝑃 𝑣 − 𝑃 𝑐 >0. La respuesta R1.3requiere estudiar las Inecuaciones lineales.
El tratamiento de la pendientede la recta se realiza geométricamente a partir de las ecuaciones lineales en dos variables, sin reducir el estudio a los aspectos funcionales. En consecuencia
La pendiente de una recta no vertical 𝑐 1 ≠ 𝑐 2 que pasa por los puntos 𝑃 1 𝑐 1 ; 𝐺 1 y 𝑃 2 𝑐 2 ; 𝐺 2 es
Si 𝑐 1 = 𝑐 2 , se tiene una recta vertical; su pendiente no está definida.
Con el objetivo de investigar sobre los beneficios que podría ofrecer el kiosco, se pueden comparar las ganancias que se obtienen al vender los productos. Este cuestionamiento conduce a Q4: ¿Bajo qué condiciones las ventas de dos productos ofrecen la misma ganancia? Para responder a Q4, es necesario estudiar los Sistemas de ecuaciones linealesen dos variables,
De las ecuaciones de dos productos se obtiene el sistema,
Existen varias técnicas para resolver los sistemas de ecuaciones, cuya consideración escolar muestra que son matemáticamente equivalentes.
Hasta el momento, las ecuaciones halladas incorporan variables y parámetros bien definidos y diferenciados. Encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables conduce a estudiar la variación de los parámetros.
Q4.1: ¿Es posible que se obtenga la misma ganancia en la venta de dos productos distintos? Si el sistema tiene una única solución, Sistema compatible determinado, entonces es posible afirmar que los dos productos ofrecen la misma ganancia cuando se vende una misma cantidad de ellos (R4.1.1). Si el sistema tiene más de una solución, Sistema Compatible indeterminado, entonces es posible afirmar que ambos productos siempre ofrecen la misma ganancia al venderse en cantidades iguales (R4.1.2).
Q4.2: ¿Es posible que nunca se obtenga la misma ganancia en la venta de dos productos distintos?Si el sistema no tiene solución, Sistema incompatible, entonces la respuesta será que la venta de los productos seleccionados nunca permite obtener la misma ganancia (R4.2).
Nuevamente y con la intención de investigar todas las formas posibles para obtener mayores beneficios en el kiosco, se puede analizar cuánto se puede reducir el precio de compra y gasto de envío y cuál sería el precio de venta más convenientes para aumentar ganancias.
Es destacable que este REI produzca un doble tratamiento de losmodelos generados.Por un lado, distinguir entre parámetros y variables, y estudiarlos efectos que produce la variación de alguno de los parámetros sobre el modelo, como se ha desarrollado anteriormente. Por otro, investigar y estudiar las transformaciones del modelo alintercambiar las variables y los parámetros, considerando que en este caso puedan surgir nuevos conocimientos. En lo que sigue se analizan los modelos que pueden generarse al intercambiar variables y parámetros, lo cual conlleva a estudiar las Ecuaciones y funciones racionales en dos variablesy las Hipérbolas que de ellas se desprenden.
Por ejemplo, partiendo de la ecuación de ganancia (5) es posible preguntar Q5: Para obtener una ganancia dada, ¿qué relación existe entre el valor del envío / el precio de venta / el precio de compra y la cantidad? Esto conduce a considerar a 𝐺 como parámetro y 𝑐, 𝑒, 𝑃 𝑣 , 𝑃 𝑐 como variables.
En primer lugar, analizando las variaciones del valor del envío surge la pregunta Q5.1,¿Cómovaria el gasto de envío para obtener una ganancia fija?De la ecuación (5), si se fija 𝐺 además de los parámetros 𝑃 𝑣 y 𝑃 𝑐 , se obtiene la ecuaciónpara las variables𝑐 y e
Una respuesta posibleesR5.1:El envío varía en forma constante y depende de𝑐de acuerdo a la ecuación (6).Ecuación lineal en dos variables(𝑐;𝑒).Considerar a 𝐺como un parámetrono es asumir que se corresponde con un valor fijo, por el contrario, 𝐺 es un parámetro porque engloba a un conjunto de ganancias posibles.
En segundo lugar, considerando las variaciones del precio de venta se puede formularQ5.2: ¿Cómovaría el precio de venta para obtener una ganancia fija?De la ecuación (5), si se fija 𝐺 además de los parámetros 𝑒 y 𝑃 𝑐 ,se obtiene la ecuación para las variables𝑐 y P v
(7)
Una respuesta a Q5.2esR5.2:El precio de ventano varía en forma constante, sus valores dependen de 𝑐y aumenta conforme 𝑐 crece, en la forma que describe la ecuación (7). Ecuación fraccionaria en dos variables( 𝑐;𝑃 𝑣 ).
Finalmente, en relación con el precio de compra la pregunta puede serQ5.3: ¿Cómo puede variar el precio de compra para obtener una ganancia fija?De la ecuación (5), si se fija 𝐺 además de los parámetros 𝑒 y 𝑃 𝑣 , se obtiene la ecuación para las variables𝑐 y 𝑃 𝑐
(8)
Una respuesta a Q5.3esR5.3:El precio de compra no varía en forma constante, sus valores dependen de 𝑐 y disminuyen cuando 𝑐 crece, en la forma que describe la ecuación (8). Ecuación fraccionaria en dos variables( 𝑐;𝑃 𝑐 ).
De la misma manera que fue posible estudiar con Q5la variación de 𝑃 𝑣 , 𝑃 𝑐 y 𝑒 fijando 𝐺, puede realizarse un estudio similar con𝑐 y analizar cada ecuación resultante.
Una posible respuesta R ♥ integra y utiliza los modelos de compra, venta y ganancia desarrollados y sus transformaciones.
Implementación del REI
La implementación del REI en el aula excede largamente el análisis praxeológico de la pregunta generatriz inicial. Para administrar el kiosco se deben considerar los productos que se comercializarán en el mismo. Teniendo en cuenta que en el mercado existe una gran variedad de productos y precios se propone, de manera exploratoria, una listacon productos que se venden por unidad (generando una variable discreta) y otros a granel (variable continua). Se eligen 20 productos, considerando que es una cantidad suficiente como para no reducir el estudio a una simple ecuación, pero limitada como para que existan coincidencias en la selección de al menos algunos productos.
Para proponer el estudio de Q0 en el aula, también se asigna un monto fijo para la inversión inicial del kiosco. Esto permite armar un stock y calcular los precios de compra de cada productoen función de las cantidades elegidas.También, analizar la ganancia y establecer un modelo de compra y venta que permita recuperar la inversión inicial.
La tarea propone seleccionar 10 productos de la lista, para generardistintos stocks de kioscos en el aula.Se considera el uso de planillas de cálculo, para sistematizar los cálculos, lo cual requiere programarlas celdas y tomar en cuenta los modelos generados.
En consecuencia, la pregunta generatriz se formula en la escuela de la siguiente manera: Q0: ¿Cómo administrar el kiosco de la escuela para obtener ganancias a partir de la inversión de un monto fijo?Por medio del documento que se muestra en la Figura 2.
Conforme a las etapas de la modelización matemática (Chevallard, 1989)primero hay que definir el sistema a estudiar, analizar susaspectos más importantes como las variables en juego y el “dominio de realidad” del fenómeno en cuestión. En este sentido, la pregunta generatriz Q0 se plantea en un contexto especial ya que refiere a la administración del kiosco de la escuela,que funciona en los recreos y no tiene gastos de funcionamiento a excepción, en algunos casos, del envío de los productos.
En el aula, las primeras preguntas derivadas de Q0se relacionarían con la compra, venta y ganancia de los productos, dando lugar al estudio de las “afinidades y ecuaciones lineales en dos variables” (Figura1).Esta etapa posibilita que los estudiantes inicien un proceso de modelización algebraico funcional, generando modelos matemáticos relativamente sencillos que definen y distinguen parámetros y variables.Esta actividad es poco frecuente en este nivel escolar,
Indagar acerca de si dos productos podrían dar o no la misma ganancia, conduce a estudiar los “sistemas de ecuaciones lineales en dos variables” y su clasificación. Este estudio requiereanalizar la variación de parámetros y su efecto sobre las soluciones, otra etapa de la modelización algebraica.Se puede utilizar en el aula algún software graficador, como por ejemplo GeoGebra, para cumplir el requisito curricular de emplear el sistema de representación en coordenadas cartesianas, además, dicho software, evidencia la equivalencia de las diferentes expresiones algebraicas.
Con el objetivo de investigar alternativas para obtener mayores beneficios para el kiosco, se propone analizar cómo podrían variar el gasto de envío y los precios de venta y compra, considerando una ganancia fija. Esto implica analizar los valores que pueden tomar los parámetros, considerados ahora como variables. Se avanza así en el proceso de modelización algebraico funcionalestudiando las transformaciones que produce el intercambio de los parámetros con las variables en el modelo.
Algunas de las ecuaciones que se obtienen al intercambiar los parámetros con las variables son expresiones algebraicas fraccionarias de primer grado en dos variables”. Estas ecuaciones permiten analizar las variaciones del precio de venta y del precio de compra y gastos de envío en el contexto del problema planteado. Las planillas de cálculo, permiten realizar este análisis, sistematizando las operaciones y evidenciando la dependencia no linealentre las variables.
La respuesta R ♥ de este REI en el aula, integra y utiliza los modelos de compra, venta y ganancia. También forma parte de R ♥ la investigación en torno a la ganancia que deriva en el estudio de la variación de los parámetros, por un lado, y del intercambio entre variables y parámetros por otro.
REFLEXIONES FINALES
En este trabajo se realiza un análisis del alcance matemático y didáctico de la pregunta generatriz Q0¿Cómo administrar el kiosco de la escuela para obtener ganancias?El mismo permite al investigador explorar los conocimientos matemáticos que se necesita para tratar y responder Q0y que podrían estudiarse en el desarrollo del REI. Considerar su implementación en el aula implica realizar transformacionespara contextualizar la pregunta, tales comocircunscribir la cantidad de productos y sus precios, fijar un monto para la inversióninicial, es decir, reelaborar Q0.
