EDUCACIÓN CIENTIFICA Y TECNOLÓGICA

Los conocimientos matemáticos en el umbral de la universidad

Mathematical knowledge on the university threshold

 

Silvia Caronía^1,*, Marta Rivero¹, Roxana Operuk¹, Cristina Mayol¹

¹ Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales, Universidad Nacional de Misiones, Félix de Azara 1552, Posadas, Misiones, Argentina.
* E-mail: silvca2@gmail.com

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Resumen

Esta investigación se realizó en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones. Se inscribe en la teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau, en la que se trabajó sobre los errores considerados como obstáculos para el aprendizaje. Se trató de ver su emergencia en los conocimientos matemáticos de ingresantes de las cohortes 2003-2004. Para ello se analizaron respuestas dadas a evaluaciones tomadas en el curso de ingreso. Además, para el análisis de su persistencia se administraron las mismas o similares pruebas luego de un año de cursado como alumno regular de la Facultad. Se constató la existencia de estos errores que pudieron ser tipificados. Además se advirtió que responden a patrones de comportamientos estabilizados y permanentes. Por ende, resistentes a las modificaciones que supondría el aprendizaje.

Palabras clave: Examen de ingreso; Obstáculos epistemológicos; Errores.

Abstract

A research study was carried out at the School of Exact, Chemical and Natural Sciences at the State University of Misiones. It is in line with Brosseau's Didactic Situations, where errors are considered as obstacles for learning. This theory was used to analyze the mathematical knowledge of entrant students of cohorts 2003-2004. We analyzed answers given to assessment during the Entry Course. The same or similar tests were given after one year of attendance as regular students. Occurence of learning errors was detected and categorized. They followed stable and permanent behavior patterns, therefore they were resilient to the learning process.

Keywords: Entry exam; Epistemological obstacles; Errors.

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Justificación de la investigación

Los alumnos ingresantes a una carrera universitaria, luego de su paso por los niveles E.G.B. 3 y Polimodal, llegan con conocimientos que según Tenti Fanfani. y Gomez Campo, (1989)¹ están conformados por "un conjunto amplio de competencias que se encarnan en forma unitaria en el sujeto", creencias y habilidades determinadas que inciden en sus maneras de proceder.
Por otra parte, estos niveles de educación suponen la preparación de ciudadanos con capacidades y competen cias suficientes para, por ejemplo, iniciar estudios a nivel Universitario. Sin embargo, el ingreso y la permanencia en el nivel referido presentan dificultades.
El examen de ingreso, en general, se percibe como un instrumento de medición para "conocer" el estado inicial de saberes que poseen los ingresantes y dar cuenta, en algunos casos, de quiénes están en condiciones de comenzar el cursado de las materias del primer año de la carrera elegida. Hasta el momento informa un "estado", ¿pero después, qué se hace o se puede hacer? La eviden cia empírica es que, aún después de superarlo, se siguen presentando obstáculos en el aprendizaje. ¿Cuáles son los errores detectados más frecuentes?
En el caso de la Universidad Nacional de Misiones se implementan prácticamente en todas sus Unidades Acadé micas, acciones que se corresponden con una diversidad de modalidades de ingreso. A continuación describimos el que corresponde a la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales, tomada como ámbito empírico de esta investigación.
Esta Unidad Académica cuenta con carreras de Profesorados en Matemática, Física y Biología, carreras de Ingeniería Química, Bioquímica, Farmacia, Genética, Enfermería, e Informática. La duración del "Curso de Ingreso" es de aproximadamente 4 semanas. La totalidad de los alumnos deben acreditar el módulo de "Matemática", además de otros módulos específicos según la carrera. A partir del año 2001, se incorporó el módulo de "Estrategias de Aprendizaje" para todas las carreras.
En esta Unidad Académica hasta el año 2003 el examen de ingreso era obligatorio, pero no restrictivo, es decir, la evaluación se transformaba sólo en una prueba diagnóstica.
A partir del año 2004 el examen fue obligatorio, restrictivo y eliminatorio. Es por ello que se les otorgó a los alumnos un mayor número de oportunidades para lograr su ingreso.

El problema o las preguntas de esta investigación

Una vez que los alumnos ingresan a la facultad surgen nuevos problemas. Las dificultades detectadas en las mate rias de primer año señalan serios problemas de aprendizaje que obstaculizan la continuación de los estudios, produ ciéndose en el inicio del dictado una importante deserción.
El aprendizaje implica necesariamente rupturas cog nitivas, acomodaciones, cambio de modelos implícitos (concepciones), de lenguajes, de sistemas cognitivos. No obstante algunas ideas resisten y persisten. Constituyen eso que llamamos obstáculos en el proceso del conocimiento. Esos obstáculos, ¿están en el modo en que los alumnos incorporan, elaboran, transforman y aplican esos saberes?, ¿se estudia en qué medida incide y si se modifican los conocimientos básicos de los alumnos, en el transcurso del cursado de las asignaturas correspondientes?, ¿los errores más frecuentes que se detectan, se mantienen a lo largo de los cursados o van sufriendo transformaciones?, ¿se van superando esos errores?
Por todo lo manifestado, este proyecto de investigación pretendió ir más allá de la "medición" del porcentaje de alumnos que ingresan a una determinada carrera. Se ha conjeturado que el tiempo de preparación y puesta a punto de niveles de conocimientos como de capacidades, aptitudes, no pueden ser resumidas en un instante (la eva luación); y aún si los alumnos logran el ingreso, tampoco es garantía de inicio en la mejor de las condiciones ni de preparación para el entendimiento de las materias.
Se hizo entonces necesario el análisis de los conoci mientos matemáticos de los ingresantes en búsqueda de respuesta a las preguntas planteadas.

Objetivos del proyecto

Los objetivos del proyecto fueron:
ANALIZAR los logros y los obstáculos en los apren dizajes matemáticos de alumnos en las etapas de ingreso y permanencia en el primer año de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. (UNaM).
CARACTERIZAR el examen de ingreso, según el nivel de cognición y capacidades en Matemática que demanda.
COMPARAR niveles de aprendizaje en el examen de ingreso y en el examen al final del primer año, de acuerdo con aspectos de la cognición, resolución de problemas, aptitudes, tipos de instrucción, otras.

Enfoque y ámbito de la investigación

Esta investigación se enmarcó dentro de los paradigmas Descriptivo como así también Hermenéutico, Interpreta tivo, Reflexivo. Con las informaciones que se obtuvieron en los distintos momentos, se describieron y realizaron interpretaciones.
Se centró en la observación y estudio de dificultades comunes en el estado cognitivo de los conocimientos matemáticos en el ingreso así como la transformación que hubieran podido tener esos conocimientos, durante el trans curso del primer año de permanencia en la universidad.
Por la amplitud de la temática, en una primera instancia, se hizo necesario el primer recorte a una de las Unidades Académicas de la Universidad Nacional de Misiones: se focalizó el análisis, estudio y desarrollo en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales¹.
El segundo recorte consistió en elegir algunas de las carreras de esta Unidad Académica, estimándose una población aproximada de 1200 alumnos, estas fueron: Profesorado en Matemática, Licenciatura en Genética e Ingeniería Química. La selección de las mismas se hizo teniendo en cuenta dos criterios: la relación más estrecha con el campo disciplinar en estudio (la Matemática)² y segundo, la Lic. Genética con una población estudiantil proveniente de distintas partes del país, cuestión que podrían aportar información más generalizada, en cuanto al grado de conocimientos con que llegaban al ingreso a la universidad.
El tercer recorte consistió en la cantidad de exámenes analizados. En el caso del Ingreso 2003³ como se efectuó una sola evaluación, se tomaron la totalidad de los mismos. En cambio en el Ingreso 2004, el examen fue obligatorio y restrictivo. Es por ello que se otorgó un mayor número de oportunidades. Se tomaron dos evaluaciones parciales durante el cursado, los que no aprobaron pasaron a un examen Integratorio. Luego, se les concedió dos recupe ratorios más. Al ser un número elevado de exámenes a analizar, la decisión de este grupo de investigación fue la de considerar solamente los exámenes del Integratorio.

Marco Teórico

¿Qué se piensa del significado del error? ¿Cómo lo conciben algunos investigadores?
Según Charnay. y Mante (1990-1991) ^[2], los errores se consideran significativos, y poseen las características de ser "reproducibles", cuando se manifiesta una cierta persistencia. Por lo tanto no son considerados al azar, o por distracción. Además sostienen que estos hechos no son aislados pueden ponerse en relación con otros, formando una suerte de red o de sistema de errores.
El análisis y la interpretación de los errores y su origen suponen la referencia a un marco teórico, que está influido por las concepciones del aprendizaje y de la matemática. De acuerdo con las lecturas realizadas se observó que las miradas e interpretaciones difieren según la perspectiva conductista o la influida por el constructivismo.
En la concepción conductista, la responsabilidad del error se atribuye al alumno. Para este pensamiento con ductista los errores se encaran volviendo a aprender sus lecciones y para los errores de "saber-hacer", se proponen ejercicios de entrenamiento graduales.
En la perspectiva constructivista, el error es la expre sión de una forma de conocimiento. Señala Brousseau (1983) ^[3].
El error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como se cree en las teoría em piristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela como erróneo, o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos, ni imprevisibles; están constituidos como obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es constitutivo del sentido del conocimiento adquirido. (P. 166).
Este investigador distingue tres orígenes fundamentales de esos obstáculos que se encuentran en la enseñanza de las matemáticas:

Un origen ontogenético, correspondiente a los obs táculos unidos a las limitaciones de las capacidades cognitivas de los estudiantes.
Un origen didáctico, para los obstáculos ligados a las opciones del sistema de enseñanza.
Un origen epistemológico, los que están intrínsecamen te relacionados con el concepto.

Así mismo, Artigüe, (1990) ^[4], se refiere a la noción de obstáculo diciendo:
Por nuestra parte, retendremos dos aspectos de la no ción de obstáculo epistemológico según (Bachelard, 1938):

La aparición de los obstáculos tienen un carácter inevitable [...].
La repetición de su aparición en la filogénesis y la ontogénesis de los conceptos.

Algunas de nuestras preguntas se fueron precisando en los siguientes términos: ¿cuáles son los errores más frecuentes detectados?, ¿qué características tienen?, ¿cuál es su consistencia interna en los procesos de pensamiento que revelan?, ¿existe una cierta regularidad? referida, por ejemplo, a la transferencia de tipo algebraico, argumenta tivo, simbólico, etc.
De todos los conocimientos matemáticos evaluados en las pruebas de ingreso, el estudio se centró en el análisis de las respuestas a los protocolos relacionadas con el Álgebra y algunas cuestiones referidas a la Aritmética, siendo ésta una decisión operativa del grupo de investigación, para realizar un recorte del problema.
Se analizaron en forma individual cada una de las prue bas a fin de: identificar y tipificar los errores cometidos, y a partir de ellos inferir en "qué estuvo pensando cada alumno" cuando respondió las consignas dadas. Además, se detectaron las regularidades y coherencias en esos procesos considerados erróneos.
Transcurrido un año del cursado se diseñó una 2ª evaluación para analizar el "estado" en el que se encon traban los conocimientos de la población en estudio. Se partió para dicha confección, de los mismos contenidos evaluados en el ingreso, con el fin de analizar por ejemplo si cometió el mismo error, si lo pudo superar o si tuvo "nuevos errores".
Cabe aclarar que para las comparaciones de las dos eva luaciones surgieron dos sucesos: respecto a los ingresantes 2003 no se presentaron inconvenientes, se pudo tomar la segunda evaluación coincidente con la primera.
En el caso de la cohorte 2004, debido a que algunos estudiantes aprobaron en instancias distintas de evalua ción para la comparación no se analizaron "los mismos ejercicios"; pero al ser éstos de la misma naturaleza, no se advirtió imposibilidad de continuar con dicho análisis.

Resultados

1.- ¿Cuáles fueron los errores detectados?

Para el análisis de los errores que se manifestaron en los exámenes de los ingresantes, se tomaron como referencia las investigaciones realizadas por autores como: Kieran (1989) ^[5]; Berté (1999) ^[6]; Panizza, Sadovsky y Sessa (1997) ^[7], Engler (2004) ^[8] con el fin de cotejar si las cuestiones tratadas por los mismos, son similares a las que se pudieron advertir en esta población de ingresantes. Siguiendo la tipificación efectuada por estos autores, realizamos una nueva clasificación, que presentamos a continuación.
La aplicación de propiedades: los alumnos estiman po sible la aplicación de la propiedad distributiva en los casos de: la raíz, la potencia, el cociente, respecto de la suma, entre otros. Estos tipos de errores están asociados a un pen samiento lineal, lo cual obstaculiza implícitamente a otros modelos no lineales. Por ejemplo: ()2 2 2 baba + = +
Los manejos operatorios adecuados: otros autores lo identifican como: "errores al operar algebraicamente, [...] empleo incorrecto de propiedades y definiciones". Con funden no solo las aplicaciones de las propiedades sino también, las reglas de las operaciones.
El orden en que efectúan las operaciones: los estu diantes consideran que el orden del cálculo que deben realizar es de izquierda a derecha, de la manera como se presentan los términos. Vale explicitar desde la arit mética, dificultades relacionadas con la jerarquía de las operaciones, cuestiones éstas que influirán cuando operen algebraicamente. A errores de este tipo, algunos autores los consideran como: "errores técnicos".
La forma de ver el signo igual: los alumnos visualizan al signo igual como un simple separador de las secuencias de operaciones que realizan para llegar al resultado. Además lo conciben como la "señal de hacer algo". Esta dificultad es un obstáculo a la hora de trabajar algebraicamente, porque produce la violación de las propiedades de simetría y tran sitividad de la igualdad.
La no-aceptación de la falta de cierre: los alumnos tienen arraigada la aritmetización en los problemas al gebraicos, ostentan la necesidad de arribar a un número concreto, igualan a un número, en general a cero, "no se dan cuenta que el procedimiento es a menudo la respuesta". Los alumnos "tratan las letras en expresiones y ecuaciones como incógnitas específicas más que como números gene ralizados o como variables".
La posibilidad de "control" de sus resultados, tan pronto los estudiantes de álgebra aprenden a manejar un método formal de resolución de ecuaciones tienden a abandonar el uso de la sustitución para la verificación. A este tipo de error otros autores lo consideran como: "falta de verifica ción en la solución".
La dificultad en la lectura y comprensión de los enun ciados y consignas de trabajo "las pruebas de matemática también son, en alguna medida, prueba de lectura". Otros autores lo traducen como la "interpretación incorrecta del lenguaje".
El significado que le atribuyen a las letras: los alumnos revelan el uso de las letras como etiquetas. Esta consi deración obstaculiza, por ejemplo, el significado de los términos variables en las ecuaciones algebraicas. En tal sentido los variables, por ejemplo la "X" es identificada como objeto: 5x representan 5 manzanas. En otros casos las letras son "forzadas" y son tomadas como variables, recurriendo a la sustitución por tanteo o la suposición de que pueden "reemplazar" por "algo". Con este "significado violan la simetría".

2.- Los errores tipificados ¿son frecuentes?

En el estudio de los errores cometidos en la prueba de ingreso, correspondiente a algunos temas básicos se ana lizó la frecuencia con que se produjeron, según el tipo de error encontrado. Lo expresado se observa en el siguiente gráfico:

3.- Esos errores ¿son consistentes para cada alumno?

Se toma en esta presentación un caso para analizar la coherencia interna del pensamiento del estudiante: es decir, si los errores cometidos se vinculan internamente entre sí.

Al no tener en claro el cociente entre polinomios y la divisibilidad de los mismos, se supuso que este alumno interpreta que: para analizar la exactitud del cociente debe arribar necesariamente a un "número", es por ello que sustituye la "letra" por tanteo. Comienza el análisis otorgando distintos valores, considerando a la misma como variable "a" y de acuerdo con los resultados que le ofrecen los mismos, determina la exactitud o no de la expresión.
En resumen, en este caso, se observó consistencia del error en el significado que el estudiante atribuye a las letras, como así también falta de manejos operatorios adecuados tanto en el empleo de propiedades como en el uso de las definiciones.

4.- Los errores tipificados: ¿son persistentes para el mismo alumno?

Con las dos evaluaciones realizadas, se pretendió observar y comparar la evolución en el pensamiento de cada estudiante.

Tabla Nº 1: Examen de un estudiante de la FCEQyN en los años 2004 y 2005.

A continuación, a modo de referencia del tipo de análi sis realizado se presenta el caso de un examen respondido en dos oportunidades por el mismo estudiante, luego de un año de cursado en la facultad de asignaturas del campo de la matemática
Los conceptos involucrados fueron ecuaciones con radi cales, exponenciales y logarítmicas con distintos grados de dificultad, evaluándose también el manejo de propiedades y definiciones de potencia, logaritmos, propiedades de los números reales, etc.

5.- Comparaciones de algunos resultados de los exámenes de ingresantes 2003-2004

Se hizo una comparación de los resultados de las eva luaciones de los ingresantes 2003 y 2004, en referencia a algunos ejercicios del álgebra. En líneas generales pode mos decir que, en el año 2004 los resultados mejoraron. Se piensa que una de las causas podría haber sido el cambio en la modalidad de ingreso (restrictivo).
De los ejercicios analizados, aquellos que estuvieron relacionados con: expresiones algebraicas y casos de factoreo (Gráfico Nº 2), se observó que, en el 2004, hubo una importante mejora: se incrementó un 34%, en relación del año 2003, el porcentaje de respuestas correctas.

Gráfico Nº 2: Porcentaje de alumnos ingresantes según resultados de las evaluaciones sobre expresiones algebraicas y casos de factoreo. Años 2003- 2004.

En los ejercicios referidos a ecuaciones y aplicación de propiedades en el año 2004 se aprecia una mejora de un 13% con respecto al año anterior. A pesar del pequeño incremento manifestado, continúa manteniéndose en los mismos valores porcentuales de los alumnos que resolvieron mal (Gráfico Nº 3).

Gráfico Nº 3: Porcentaje de alumnos ingresantes según resultados de las evaluaciones sobre ecuaciones y aplicación de propiedades. Años 2003 - 2004.

En el análisis realizado sobre algunos de los conceptos trabajados en forma general se advirtió, con referencia a:
Ecuaciones: la mayoría de los estudiantes ingresantes 2004, no pudieron interpretar las propiedades distributivas de la potencia y de la raíz. Como así también tuvieron difi cultades en la definición y propiedades de los logaritmos.
Al año siguiente se observó que la mayoría de los estu diantes reconocieron y pudieron trabajar con el logaritmo, pero como logaritmo natural. La dificultad observada es que suponen que, al estar el logaritmo con una base "a", lo pueden transformar a una base "e", lo cual ha producido errores conceptuales, y en algunos casos no tener en claro aún las propiedades de los mismos. Suponemos que este "cambio de base" se deba a la influencia del análisis como materia que están o han cursado.
De este modo, se puede constatar que como lo sostiene Brousseau (2007) [9].
El obstáculo no desaparece con el aprendizaje de un nuevo conocimiento. Por el contrario, opone resis tencia a su adquisición, a su comprensión, frena su aplicación, subsiste en estado latente y reaparece de forma imprevista, en especial en su ámbito anterior, cuando las circunstancias lo permiten. (P. 46).

Consideraciones finales

Acorde con lo previsto, esta investigación tuvo una intención descriptiva y buscó enmarcarse en un paradigma interpretativo-reflexivo. Creemos haber sostenido esta perspectiva, tanto en el proceso de trabajo como en los productos alcanzados, en la medida en que nos permitieron una mejor comprensión del problema estudiado.
A pesar de que la comparación con otras investigaciones no estaba prevista dentro de nuestros objetivos, de todas maneras la labor de indagación teórica nos facilitó tomar como referencia sistemas de clasificación y categorías que han sido construidas por autores reconocidos en el tema, tales como Kieran (1989) ^[5]; Berté (1999) ^[6]; Panizza, Sadovsky y Sessa (1997) ^[7], Engler (2004) ^[8]. Hemos encontrado que los errores tipificados se corresponden, en líneas generales, con los errores detectados por estos autores.
Esos errores atañen a "patrones de comportamientos" que resultan consistentes y se manifiestan, por consiguien te, en distintas situaciones operatorias. No son indepen dientes y se presentan habitualmente, como partes de una misma estructura de pensamiento.
El análisis de las frecuencias detectadas mostró que algunos de ellos deberían ser considerados "muy especialmente" por su generalización en los temas sobre ecuaciones, expresiones algebraicas, como así también en cuestiones relacionadas con la aritmética. De los errores hallados, un 100% estuvieron vinculados con "las aplica ciones de propiedades", seguido entre un 80% y 90% en los "manejos operatorios adecuados". Otro error recurrente (100%) fue "la dificultad en la lectura y comprensión de los enunciados y consignas de trabajo".
La importancia que tiene la "dificultad en la lectura" que se ha detectado debería advertir además, acerca de los riesgos que conlleva la misma presentación de las consignas. Probablemente el leer e interpretar consignas debería ser en sí mismo un objetivo de aprendizaje.
Con respecto a las comparaciones de los alumnos ingre santes 2004 con su 2º evaluación (2005), se detectaron en algunos casos: persistencia en los errores; no contestaban algunos de los ítems de ejercicios que anteriormente rea lizaban correctamente; presentaban "nuevos" errores y en otros casos evolucionaron en sus procedimientos.
El aporte que consideramos importante en este estu dio, independientemente de sus corroboraciones, es que pudimos reconocer procesos operatorios que subyacen como errores en el razonamiento de estos estudiantes. Así, esperamos contribuir a una mejor comprensión de la acti vidad intelectual desplegada en situaciones como ésta que seguramente, al ser más analíticamente conocidas, podrán ser mejor tratadas desde una perspectiva pedagógica.
Pensamos que este conocimiento más exhaustivo acerca de los errores en las resoluciones matemáticas, debe ser una cuestión explícitamente considerada en la formación de los futuros docentes, además de contribuir a desnatura lizar la concepción dominante, según la cual: "el alumno es el que no estudia" o "con más ejercitación (de la misma clase) podrán saber".

Notas

¹ Se toma esta facultad como prueba piloto además porque los docentes involucrados en el proyecto pertenecen a la misma.
² Se ha considerado que las materias de "matemática" del 1º año, son compatibles, aunque las del Profesorado se estudian con mayor profundidad. No se las observó por la troncalidad, sino como "herramientas", ya que por ejemplo, en el área del álgebra compatibilizan las carreras planteadas, de acuerdo a los contenidos mínimos básicos considerados.
³ Fue obligatorio, pero no restrictivo, es decir la evaluación se transformó solo en una "prueba diagnóstica".

Referencias Bibliográficas

1. Tenti Fanfani E. y Gómez Campo V. (1989). "Universidad y profesiones: crisis y alternativas". 1ra edición Ed. Miño y Dávila.         [ Links ]

2. Charnay R y Mante, M. (1990-1991). "Del análisis de los errores en matemáticas a los dispositivos de remediación: algunas pistas". Equipo de Investigación en didáctica de la Matemática INRP. del IREM de LYON. En: GRAND N., Nº pp. 37-64.         [ Links ]

3. Brousseau, G. (1983). "Les obstacles epistemologiques et les problemes en mathematiques". Recherches en: Didactique des Mathematiques, 4(2), pp. 165-198.         [ Links ]

4. Artigüe, M. (1990). "Epistemologie et Didactique". Reserches en didactique des mathématiques. Vol. 10, Nº 23. Traducción de un texto escrito en francés. MARIA, Librairie Philosophique J. Vrin, París, (1938).         [ Links ]

5. Kieran C. (1989). "El aprendizaje del álgebra escolar des de una perspectiva psicológica". Centro de Investigación y Estudios avanzados del IPN. Universidad de Québec Montreal, Canadá. F. Filloy Yagüe. México. University of London Institute of Education, Inglaterra.         [ Links ]

6. Berté Annie. "Matemática Dinámica". (1999). Buenos Aires. Editorial AZ (p. 120).         [ Links ]

7. Panizza, M Sadosky, P. Sessa, C. (1997). "Los primeros aprendizajes algebraicos: el fracaso del éxito". Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Buenos Aires.         [ Links ]

8. Engler, A.; Gregorini, M.; Müller, D.; Vrancken, S. y Hecklein, M. (2004). "Los errores en el aprendizaje de matemática". Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ciencias Agrarias. Santa Fe.         [ Links ]

9. Brousseau, G. (2007). "Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas". Editorial el Zorzal. Buenos Aires.         [ Links ]

Recibido: 06/08/2012
Aprobado: 30/09/2012