I. INTRODUCCIÓN

Hasenohrl en su experimento mental, imaginó una cavidad con paredes radiantes y perfectamente reflectantes (A y B) que se mueve con velocidad constante v con respecto al sistema del laboratorio [¹], tal como se muestra en la Fig. 1. Las paredes radiantes se encuentran a la misma temperatura y emiten radiación de cuerpo negro. El autor analiza la presión de radiación ejercida por los fotones emitidos sobre las paredes, y considera que desde el sistema del laboratorio se observa una fuerza neta aceleradora, causada por efecto Doppler. Es decir, desde este sistema, la frecuencia de la radiación emitida desde paredes opuestas de la cavidad se desplaza hacia extremos opuestos del espectro (una hacia el azul y otra hacia el rojo), esta diferencia de frecuencia causa presiones de radiación diferentes en las paredes y por lo tanto la fuerza neta. Esto implica que para mantener la velocidad de la cavidad hace falta una fuerza externa igual y opuesta. A partir del cálculo del trabajo realizado por esta fuerza neta [²], Hasenhorl infiere la siguiente relación entre la energía de la radiación y su masa inercial: Este trabajo, aunque erróneo tanto en su planteamiento como en su resultado fue parte del proceso de análisis que permitió a Einstein llegar al resultado correcto en 1905 [3]. El procedimiento seguido por Hasenohrl (Ref. [1] y [²]) ha sido objeto de una serie de análisis posteriores [4, 5].

En este trabajo nos propusimos estudiar, a partir de un experimento mental similar al de Hasenhorl, las relaciones entre los parámetros dinámicos de la cavidad, para el límite no relativista. El principio de relatividad del movimiento establece que no se puede diferenciar entre el estado de reposo y el de movimiento uniforme de un cuerpo por medio de experimentos físicos, esto descarta a la fuerza neta de la presión de radiación deducida por Hasenhorhl. En el caso de la cavidad, el efecto Doppler no causa una diferencia de presión entre sus paredes opuestas, debido a que estas, aunque se desplazan con respecto al laboratorio, se hallan en reposo relativo entre sí. Este razonamiento invalida cualquier pretensión de obtener las relaciones dinámicas buscadas a partir de una cavidad con movimiento uniforme. El presente enfoque parte de estudiar la interacción entre una cavidad reflectante y la radiación contenida, para el caso acelerado en el límite de aceleraciones y velocidades bajas.

FIG. 1: Una cavidad formada por dos radiadores de cuerpo negro, Ay B en un recinto completamente reflectante, de longitud D. En un momento t = 0 los casquetes radiantes comienzan a emitir fotones en la dirección del movimiento (+)y en sentido contrario al del movimiento (-). Desde el marco de un observador en movimiento,(el laboratorio), los fotones (+/-) estarán desplazados al azul/rojo y, por tanto, ejercerán fuerzas de reacción diferentes sobre Ay B [⁵]. 

II. DESARROLLO

Presentación del problema

Consideremos una situación en la que una cavidad o tubo de caras espejadas de longitud L, se desplaza con velocidad v y aceleración a colineales en el sentido positivo a lo largo del eje x del sistema de coordenadas del laboratorio, como se muestra en la Fig. 2. Por algún medio insertamos en la cavidad un haz de luz monocromático de frecuencia f0 que se propaga simétricamente, con velocidad c, en ambos sentidos sobre el eje x, con el objeto de estudiar la interacción y el efecto de esta radiación sobre las paredes de la cavidad. En un sistema no acelerado un fotón dado recorre la distancia L, c/L veces por segundo, es decir que va a impactar sobre cada extremo del tubo c/2L por segundo.

El impulso del fotón es:

Resolución

Para el caso acelerado (ver Fig. 2) partimos de que en un instante t ₁, la velocidad de la caja es v(t ₁) y su posición es x1 desde la perspectiva del sistema del laboratorio O. En este instante introducimos un sistema O′ comóvil con el tubo,

FIG. 2: Esquema de la ubicación de la cavidad en t ₁. Las líneas segmentadas indican la posición de las paredes trasera y delantera de la cavidad al momento de ser alcanzadas por la radiación reflejada en t ₁ 

La diferente duración de los viajes de ida (T2) y de vuelta (T'), causa una diferencia entre las velocidades de la pared trasera y delantera al momento de ser alcanzadas por la radiación (para más precisión entre las velocidades relativas entre el emisor y el receptor). Pero en el límite de aceleraciones y velocidades bajas se puede promediar el tiempo de vuelo de los fotones, lo que es equivalente a promediar las velocidades relativas entre la fuente y el emisor en cada reflexión de la luz.

El promedio de velocidad es:

En estas condiciones, en las que podemos descartar la asimetría causada por los diferentes tiempos de vuelo, debido a la aceleración de la cavidad, la mitad del haz que se mueve hacia adelante llega corrido al rojo a la pared delantera, es reflejado y recupera su frecuencia inicial al llegar a la pared trasera. Mientras que la mitad del haz que se mueve hacia atrás llega corrido al azul a la pared trasera, donde se refleja para alcanzar la pared delantera con su frecuencia inicial. El haz queda, efectivamente partido en dos. La pared delantera recibe un haz compuesto con una componente con la frecuencia inicial (f _o ) y otra componente corrida al rojo (f _r ) y la pared trasera recibe el mismo haz desplazado al azul, o sea con una componente con la frecuencia inicial y otra corrida al azul (f _b ), como se muestra en la Fig. 3.

FIG. 3: La aceleración de la cavidad causa una diferencia de velocidad entre la pared emisora y la receptora y por lo tanto, una diferencia de presión de radiación por Efecto Doppler. El haz de luz se divide en dos ramas. 

Ahora tenemos una fuerza neta sobre la cavidad, debida al exceso de presión de radiación sobre la pared trasera, esta

Como resultado final, conseguimos por medio de un planteo sencillo, el doble objetivo de verificar las propiedades inercia-les de la radiación contenida en una cavidad en el límite no-relativista y de obtener la expresión correcta de la equivalencia masa-energía: E = mc ² para la radiación electromagnética.

III. CONCLUSIONES

El objetivo de Fritz Hasenohrl al plantear su experimento mental era determinar la relación general entre la masa y la energía de la radiación. Aunque el enfoque es factible y puede ser útil para el análisis de las propiedades dinámicas de la radiación, el conocimiento incipiente de las implicancias de la Teoría de la Relatividad derivó en errores conceptuales importantes. Hay que tener en cuenta que el físico austríaco desarrolló estas ideas dentro del marco de la teoría del éter. Desde nuestro punto de vista, la comprensión insuficiente del principio de relatividad habilitó una aproximación incorrecta al problema en condiciones de movimiento uniforme. Einstein dedujo la expresión correcta en 1905 con un enfoque diferente, analizando el cambio en la energía total de un cuerpo que emite radiación [³]. En este trabajo, logramos deducir una expresión para la fuerza resultante de la presión de radiación sobre la cavidad, para el caso acelerado, con un planteo sencillo y dentro del marco de la Relatividad Especial. La sencillez del planteo incluso habilita su introducción con fines didácticos en cursos básicos de física. Queda demostrado que la inercia es una ley general de la naturaleza, que rige para todos los tipos de movimiento y que incluso la radiación electromagnética, bajo ciertas condiciones, verifica en forma aproximada la Segunda Ley de Newton. En el caso de la radiación contenida en la cavidad, esto implica que su masa se puede considerar constante en condiciones de velocidades y aceleraciones bajas. Finalmente, es necesario remarcar que este enfoque abre la posibilidad de una aproximación más rigurosa al problema, en condiciones de velocidades relativistas.

Recibido: 09/03/2023

Aceptado: 30/05/2023