I. INTRODUCCIÓN

La línea de goteo de neutrones se refiere a una región específica de la tabla de nucleidos que se caracteriza por tener una alta concentración de neutrones respecto al número de protones. La baja densidad de los neutrones de valencia provoca algunos fenómenos exóticos entre los que se encuentran la piel de neutrones y los halos borromeanos [¹]. En este estudio, se aborda específicamente el segundo caso, en el cual la configuración consiste en un carozo y dos neutrones. Se dice que son borromeanos ya que cualquier subsistema binario que resulta del mismo no es estable. El nombre se adopta del concepto geométrico de los anillos borromeanos, el cual es un sistema de tres anillos entrelazados entre sí de manera tal que, si se quita uno cualquiera de los tres, los otros dos quedarían separados. El fenómeno fue observado por primera vez [²] en el año 1985 en el núcleo de 11Li. El 22C fue observado por primera vez en 2010 [³] con un radio de 5.4 ± 0.9 fm, un radio bastante mas grande que el de su carozo 20C, de 2.98 ± 0.05 fm [⁴]. Experimentos posteriores [⁵] devolvieron un resultado de 3.44±0.08 fm.

Resulta de particular interés teórico la inestabilidad del isótopo ²¹C, solo se registra una única publicación con datos experimentales al respecto [6] en la que se da un límite para el scattering length de |as|< 2.8 fm. Este resultado nos lleva a considerar la posibilidad de que el estado fundamental del 21C es un estado antiligado (en la próxima sección se dará información sobre esta clase de estados). Debido a que no hay información experimental sobre la energía del mismo se supondrán algunos valores y se compararán entre sí para analizar que tan factible es la consideración.

En la Sec. II se dará una breve descripción del formalismo utilizado, en la Sec. III se investiga como afecta la variación de parámetros de un potencial gaussiano, y luego, en la Sec. IV se describen resultados sobre la manifestación de los estados antiligados en el continuo. En la Sec. V aplicamos todo lo estudiado al sistema de dos partículas y discutimos algunos resultados encontrados.

II. MODELO DE CAPAS CON ENERGÍA COMPLEJA

Para describir al ²²C utilizaremos el Modelo de Capas con energía compleja, al cual describiremos de manera breve en esta sección. Al sistema de A partículas que interactúan de a pares se lo modeliza como dos neutrones de valencia fuera de un carozo inerte. Para esto hay que encontrar los autoestados del siguiente hamiltoniano de dos partículas

Finalmente, el hamiltoniano de la Ec. (1) será diagonalizado en la base de dos partículas que se obtiene a través del

producto tensorial de la base generada por los autoestados de la Ec. (2) por sí misma. En este trabajo nos limitamos a estudiar al estado fundamental del sistema.

Considerando que los estados base van a estar dados por el sistema ²¹C, sistema no ligado, la base para determinar al ²²C no poseerá estados ligados, estará conformada enteramente por estados del continuo. En esta región del plano energético también hay polos de la matriz de dispersión S, como lo son las resonancias y los estados antiligados [⁷]. Estos últimos son estados virtuales que se caracterizan por presentar una función de onda enteramente imaginaria (a diferencia de los estados ligados) y que diverge asintóticamente.

Su manifestación física se da en el continuo a través de una propiedad que denominamos localización [8, 9] dada por

Fig. 1: Esquema de un contorno del continuo atrapando a dos resonancias a considerar. Los puntos Gi se corresponden a resonancias y los Vi a los vértices del contorno.

La propiedad característica de los halos borromeanos es que poseen un radio material considerablemente mas grande que el de su carozo. Esta característica no se la puede medir, experimentalmente, de forma directa, sino que se usan métodos para obtener el resultado a través de modelos que tienen como valor de entrada a la sección eficaz de reacción.

Para el caso teórico esta propiedad puede ser calculada a través del operador radio obteniendo valores medios a través de la función de onda del estado que se desee investigar. Utilizando el radio del carozo como parámetro de entrada, la raíz cuadrática media del radio se puede escribir

III. EFECTOS DEL POTENCIAL GAUSSIANO

En esta sección vamos a estudiar como afecta el potencial gaussiano a los estados d5/2, d3/2 y s1/2 del ²¹C.

Dado que la idea de este potencial es que afecte mayormente al estados, puede ser acompañado de un proyector que solo actúe en dicho estado [13]. Aquí lo emplearemos de manera que va a afectar a todos los estados del Hamiltoniano. Sin embargo se busca utilizar parámetros que permitan mover al estado s a rangos energéticos deseados sin que afecte de manera significativa a los demás estados.

El potencial gaussiano cuenta con dos parámetros a ajustar, la difusividad, a _g y la intensidad, v ₈ . Se eligen 4 difusividades y se varía la intensidad para cada una de estas, estudiando el cambio de los estados s y d.

Para los otros potenciales se fijan los parámetros r0 = 1.417 fm y a = 0.65 fm. Las intensidades de Woods-Saxon, v _ws = 34.5 MeV y Spin-Orbit, v _so = 13.94 MeV, fueron elegidas de manera que, cuando el coeficiente del potencial gaussiano es igual a cero, el estado d5/2 posea una energía similar, pero de signo opuesto, a la energía de separación de un neutrón del ²¹C, Sn = 2.98 [¹⁴] MeV, y la energía del estado d _3/2 sea la correspondiente a una resonancia con un ancho Γ = 0.4 MeV.

En la Fig. 2 se puede visualizar un ejemplo de la evolución del estado s dejando fijos todos los parámetros excepto la intensidad del potencial gaussiano, la difusividad del mismo se fija en 0.5 fm. Observando de derecha a izquierda, para vg de menor valor absoluto se tiene que los estados s son ligados. A medida que aumentamos la intensidad del pozo el estado se acerca al umbral de la energía y, en lugar de atravesarlo para formar parte del continuo, vuelve a ganar profundidad pero, esta vez, como un estado antiligado. Esta evolución puede apreciarse observando el valor de su número de onda, que en principio es imaginario puro positivo y luego es imaginario puro negativo. Mostrando, entonces, que el potencial gaussiano se comporta como un potencial repulsivo.

FIG. 2: Evolucion de la energia y el numero de onda, k del estado s1/2 variando vg. Los valores de los demas parametros se mantienen en ag = 0.5 fm, a _g = 0.65 fm, r₀ = 1.417 fm, V₀ = 34.5 MeV y V _so = 13.94 MeV.

En la Tabla 1 se muestran los valores de las energías de los estados d y s modificando únicamente los valores del potencial gaussiano. Con el fin de realizar una comparación objetiva se compararon los parámetros necesarios para obtener un estado s antiligado con una energía de 0.01 MeV, salvo para el caso del potencial gaussiano “apagado". Resulta interesante observar como, cuanto mayor es la difusividad ag, menor es la intensidad. Tal observación podría llevar a pensar que es mejor trabajar con difusividades grandes con el fin de ahorrar tiempo en la búsqueda de parámetros de ajuste, sin embargo podemos observar que los efectos sobre los estados d comienzan a ser mas significativos, efecto que no es deseado. A su vez, para difusividades menores a 0.5 fm el caso es el contrario, si bien el efecto sobre los estados d resulta despreciable, encontrar al estado s deseado requiere de muchas pruebas, haciendo ineficiente al método. En nuestro caso, en adelante, trabajaremos con la difusividad ag = 0.25 fm.

TABLA 1: V _g , E( _d5/2 ), E( _d3/2 ) y E( _s1/2 ) están en MeV. Valores de las energías de los estados d y s para algunos valores los parámetros V _g y a _g del potencial gaussiano.

IV. LOCALIZACION EN EL CONTINUO

Como se mencionó en la Sec. II, la manifestación física de los estados antiligados puede observarse a través de su localización, una propiedad que se describe mediante la Ec. (8). En la Fig. 3 se presentan las curvas para las energías de 0.1, 0.05 y 0.01 MeV del estado antiligado s. Los parámetros de los potenciales se detallan en la Tabla 2.

Si definimos el ancho de la función como la distancia entre los puntos de inflexión que rodean al máximo, es posible observar que, a menor energía del estado, menor será su ancho y más localizada estará la función en la región que rodea al máximo. El pico de la curva siempre se encuentra en la energía correspondiente al estado antiligado. Esta información es útil para determinar qué región del contorno continuo de s posee estados con mayor amplitud, lo que nos permite concentrar los puntos gaussianos en las cercanías del máximo.

V. LIGADURA EN FUNCIÓN DEL ESTADO ANTILIGADO

La base de partícula simple queda conformada por un único polo que es un estado resonante d _3/2 con E = 1.2 - i0.13 MeV. Para los estados del continuo correspondientes al polo se utiliza un contorno como el de la Fig. 1 con vértices V₁ = (0.2;0.0) MeV, V₂ = (0.2;-2.5) MeV, V₃ = (4.0;-2.5) MeV, V₄ = (4.0;0.0) MeV y V₅ = (15.0;0.0) MeV. El contorno correspondiente al momento angular s1/2 es enteramente real, pero se busca concentrar los puntos en las zonas donde la localización es mayor, es decir, en las cercanías del pico observado en la Fig. 3. Luego se utilizan contornos enteramente reales para estados de dispersión con momento angular p _1/2 , p _3/2 , d _5/2 , f _5/2 y f _7/2 . Si bien se pueden usar mas contornos del continuo, fue probado que provocaban un efecto de menor orden de magnitud que la precisión buscada en los cálculos realizados.

Con la base completa de dos partículas calculamos el estado fundamental del ²²C. Para esto se utiliza un código especializado que, explicado de manera muy simplificada, obtiene todos los elementos de partícula simple de la base deseados, realiza el producto tensorial para formar la base y luego diagonaliza al hamiltoniano. Se puede seleccionar que autoestados del hamiltoniano se desean obtener como output. Pero como fue mencionado con anterioridad, solo nos interesamos por el estado fundamental. Los estados excitados serán estudiados en trabajos futuros.

Entre los valores de entrada del código están también los parámetros de la Ec. (7). Al parámetro fí se lo deja fijo en el valor 1.4 fm, mientras que el parámetro v0 es modificado de manera tal que el resultado del estado fundamental se ajuste al valor experimental. A la energía estado fundamental del ²²C se la considera como igual, pero de signo opuesto a la energía de separación de dos neutrones del mismo, S2n, la cual, según [14], tiene un valor de 0.035 ± 0.020 MeV. La Fig. 4 muestra como se comporta el radio en función de la energía del estado fundamental en el rango de los valores experimentales. Tales valores se obtenieron variando v0 entre -35 y -37 MeV. La evolución obtenida no se comporta de manera monótona, como uno podría esperarse. Se observa que, a medida que el estado se acerca al umbral, el radio del mismo disminuye. Al comparar el resultado obtenido con los resultados presentados en la introducción [3, 5] se observa que el valor teórico obtenido se encuentra en un punto medio de ambos resultados experimentales.

FIG. 4: Evolución de la raíz cuadrática media del radio en función de la energía del estado fundamental del 22C.

VI. CONCLUSIÓN

Presentamos el Modelo de capas con energía compleja como una herramienta para describir al fenómeno de los halos borromeanos, propio de la linea de goteo de neutrones. Demostró ser un modelo confiable, arrojando resultados en el rango de los datos experimentales. Se presentó el potencial gaussiano y se mostró como puede usarse de manera que afecte mayormente al estado s1/2. Se mostró como las propiedades de localización de los estados del continuo pueden ser utilizadas para representar fenómenos físicos como los estados antiligados. Con lo trabajado se describió una base de particula simple que luego fue utilizada para obtener una base de dos partículas que permite describir al sistema ²²C y la energía de su estado fundamental junto con su radio.

En conclusión, el método mostró ser muy versátil para describir múltiples propiedades físicas de los núcleos.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas PIP-0930 y la Universidad Nacional de Rosario ING588.

Recibido: 27/04/2023

Aceptado: 02/06/2023