Articulos

Entre las curvas de la arquitectura contemporánea y la enseñanza de la geometría en arquitectura: un enfoque didáctico del diseño paramétrico

Between the curves of contemporary architecture and the teaching of geometry in architecture: a didactics approach to the parametric design

Entre as curvas da arquitetura contemporánea e o ensino da geometria na arquitetura: uma abordagem didática ao projeto paramétrico

 

Janice de Freitas Pires¹' *

1- Universidade Federal de Pelotas, Brasil. *E-mail: janicefpires@hotmail.com

Recibido el 25 de agosto de 2019, Aprobado el 18 de diciembre de 2019.

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Resumen

La arquitectura contemporánea experimenta momentos de gran transformación, especialmente en relación con el proceso de diseño, el uso de materiales de construcción innovadores y técnicas y simulación, con el objetivo de evaluar el rendimiento del objeto arquitectónico a lo largo del proceso, desde la concepción hasta su vida útil. En este contexto, identificamos la presencia de nuevos conocimientos que deben ser apropiados por arquitectos y diseñadores, ya que estos son los principales involucrados en todo el proceso (concepción, diseño, construcción, evaluación de uso). En consecuencia, existe un problema didáctico para las escuelas de arquitectura, en el sentido de preparar a estos profesionales para trabajar en el mercado laboral de proyectos contemporáneos. Uno de los enfoques involucrados en tales procesos de diseño contemporáneo se relaciona con la complejidad geométrica de las formas propuestas, que se definen en base a un conjunto de enfoques. Estos pueden ser aquellos basados en el desarrollo tecnológico que permite integrar entornos digitales de representación gráfica y simulación para la búsqueda de formas y su optimización y, por otro lado, la exploración del funcionamiento de los sistemas naturales, sus procesos y la formación de sus geometrías, aplicadas por Gaudí, Fray Otto, Félix Candela, Heinz Isler y Luig Nervi en el pasado. La conexión entre las prácticas de diseño computacional y los fenómenos de la naturaleza surge como un enfoque potente de la arquitectura en el sentido de la economía de los materiales y la integración cualitativa con el entorno o lugar de inserción. Anteriormente, a través de una investigación doctoral, se constituyó una red de conceptos de las superficies complejas de la arquitectura contemporánea, y, en el presente estudio, el objetivo, a partir de un caso de arquitectura referencial, es promover una investigación didáctica, con el objetivo de construir referencias para la adopción de técnicas de modelado paramétrico y fabricación digital de tales superficies, como soporte para la acción de diseño.

Palabras clave: arquitectura contemporánea, geometría compleja, modelado paramétrico, superficies mínimas, enseñanza de arquitectura.

Abstract

Contemporary architecture is undergoing great transformational moments, especially concerning with the process design, the use of innovative construction materials and techniques, and simulation, which aim at evaluating the performance of the architectural object throughout the whole process: from conception to useful life. In this new context, we identify updated knowledge that needs to be appropriated by architects and designers, who are the main participants of the whole process (conception, design, construction, evaluation and use). Consequently, there is a didactic problem within the schools of architecture because they teach professionals to work for the labor market with contemporary projects. One of the approaches involved in the contemporary design processes is related to the geometric complexity of the proposed shapes, defined and based on a set of approaches. On the one hand, such approaches can be those which are based on technological development that allows integrating graphic representation and simulation for the digital environment with the purpose of the shape searching and its optimization and; on the other hand, the exploration of the natural system functioning, its process and the geometrical formation, as the ones implemented by Gaudí, Friar Otto, Félix Candela, Heinz Isler and Luig Nervi. The connectlon between computational design practices and nature phenomena emerges as a potent approach for architecture regarding with material savings and its qualitative integration with the environment or insertion place. A network of concepts about the complex surfaces of contemporary architecture had previously been established thanks to a doctoral research. Considering that architecture referential case, the objective of the present study is to promote a didactic investigation on the use of complex surfaces in architecture, which aims at building up new references for both the adoption of parametric modeling techniques and such digital fabrication surfaces as a support for the action design.

Keywords: contemporary architecture, complex geometry, parametric modeling, minimal surfaces, architecture teaching.

Resumo

A arquitetura contemporánea vive momentos de grandes transformares, relativas especialmente ao processo de projetar, ao emprego de materiais e técnicas de construyo inovadoras e de simulado, visando avaliar o desempenho do objeto arquitetonico durante todo o processo, desde a concepqáo até a sua vida útil. Neste contexto, identificam-se a presenta de novos saberes os quais necessitam serem apropriados pelos arquitetos e designers, desde que estes sáo os principais envolvidos em todo o processo (concepqáo, projeto, construyo, avaliaqáo de uso). Consequentemente, configura-se um problema didático para as escolas de arquitetura, no sentido de preparar tais profissionais para atuaqáo no mercado de trabalho do projeto contemporáneo. Uma das abordagens envolvidas em tais processos de projeto contemporáneo relaciona-se com a complexidade geométrica das formas propostas, as quais sáo definidas com base em um conjunto de abordagens. Estas podem ser desde as que se fundamentam no desenvolvimento tecnológico que possibilita integrar ambientes digitais de representado gráfica e simulado para a busca da forma e a sua otimizaqáo e, por outro lado, na explorado do funcionamento dos sistemas naturais, seus processos e a formado de suas geometrias, tal como aplicado por Gaudi, Frei Otto, Félix Candela, Heinz Isler e Luig Nervi no passado. A conexáo entre práticas de projeto computacional e fenómenos da natureza surge como uma abordagem potente na arquitetura, no sentido de economia de materiais e integrado qualitativa com o ambiente ou o lugar de sua inserqáo. Anteriormente, por meio de uma pesquisa de doutorado, foi constituida uma rede de conceitos das superficies complexas da arquitetura contemporánea, e, no estudo presente, objetiva-se, a partir de um caso de arquitetura referencial, promover uma investigado didática sobre o emprego de superficies complexas na arquitetura, visando a construyo de referenciais para a adoqáo de técnicas de modelagem paramétrica e fabricado digital, como suporte a aqáo projetual.

Palavras-chave: arquitetura contemporánea, geometria complexa, modelagem paramétrica, superficies mínimas, ensino de arquitetura.

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introdugao

A arquitetura contemporánea vive momentos de grandes transformagoes, relativas especialmente ao processo de projetar, ao emprego de materiais e técnicas de construido inovadoras e de simulado, visando avaliar o desempenho do objeto arquitetonico durante todo o processo, desde a concepgao até a sua vida útil. Neste contexto, identificam-se a presenta de novos saberes os quais necessitam serem apropriados pelos arquitetos e designers, desde que estes sao os principais envolvidos em todo o processo de projeto e construido.

Consequentemente, configura-se um problema didático para as escolas de arquitetura, no sentido de preparar tais profissionais para atuagao no mercado de trabalho do projeto contemporáneo. Tal problema passa pela cons-cientizagao e conhecimento sobre as formas criadas em tais processos projetuais, apontando para a inclusao nos currículos das faculdades de arquitetura de propostas didáticas que possibilitem uma ampla interagao entre os fundamentos arquitetonicos presentes em tais geometrias complexas, relativos aos seus elementos teóricos, as técnicas e tecnologias de representagao gráfica (como a modelagem paramétrica e a fabricagao digital). No entanto, tais conteúdos sao muito pouco abordados nos contextos de ensino de arquitetura no Brasil. O conhecimento sobre a geometria ainda é tratada de maneira restrita em aborda-gens de seus aspectos representacionais advindos da geo-metria descritiva, em que prevalece a aplicagao do sistema bi projetivo para o desenho. Identifica-se a necessidade de um enfoque didático para a insergao destes novos conceitos na arquitetura, por sua característica interdisciplinar (geometria complexa, projeto, computagao) e o qual possa ser integrado aos diferentes métodos adotados nas disciplinas de projeto e de representagao.

Uma das abordagens envolvidas em tais processos de projeto contemporáneo relaciona-se com a complexidade geométrica das formas propostas, as quais sao definidas com base em um conjunto de abordagens. Estas podem ser desde as que se fundamentam no desenvolvimento tecnológico que possibilita integrar ambientes digitais de representando gráfica e simulando para a busca da forma e a sua otimizagao e, por outro lado, na explorando do funcionamento dos sistemas naturais, seus processos e a formando de suas geometrias, tal como aplicado por Gaudi, Frei Otto, Félix Candela, Heinz Isler e Luig Nervi no passado [1] [2] [3]. A conexao entre práticas de projeto computacional e fenómenos da natureza surge como uma abordagem potente na arquitetura, no sentido de economia de materiais e integrando qualitativa com o ambiente ou o lugar de sua insergao.

No contexto em que este trabalho se insere, foi constituida uma rede de conceitos das superficies complexas da arquitetura contemporánea, a qual objetivou apoiar o reconhecimento dos aspectos teóricos e tecnológicos para a representado gráfica digital de tais geometrias empregadas na arquitetura [4]. Para o desenvolvimento de tal rede de conceitos, delimitou-se um processo de análise de saber, de acordo com os termos da Teoria Antropológica da Didática [5]. O pressuposto foi de que a explicitagao deste 'saber' oferecia uma base de conceitos para subsidiar processos de aprendizagem de modelagem paramétrica [6] aplicada d geragao de geometrias complexas da arquitetura contemporánea.

No estudo presente, objetiva-se, a partir de um caso de arquitetura referencial, configurada por uma superficie mínima [2] [7], promover uma investigagao didática sobre o emprego de superficies complexas na arquitetura, visando d construgao de referenciais para a adogao de técnicas de modelagem paramétrica e fabricagao digital, como suporte d agao projetual. A releváncia deste estudo está em contribuir ao conhecimento sobre a aplicabilidade de tais geometrias e ir além dos aspectos técnicos da representagao e usar a representagao (modelagem) para conhecer aspectos funcionais e qualitativos de tais geometrias.

Referenciais teóricos e metodológicos

Preliminarmente, foi identificado que existem iniciativas em universidades do exterior e do Brasil de aplicagao das técnicas de modelagem paramétrica no ensino do projeto de arquitetura, geralmente utilizando métodos focados em oficinas denominadas de workshops. Estes investem predominantemente nos aspectos tecnológicos para a reso-lugao de várias classes de problemas arquitetónicos, com abordagem pouco abrangente sobre a interdependencia entre as teorias e técnicas que suportam este conhecimento [4]. Principalmente quanto d explicitagao da relagao entre estrutura geométrica e qualidades arquitetónicas das geo-metrias complexas, como conhecimento de projeto. Dessa maneira, investe-se no reconhecimento dos elementos de saber envolvidos em tais processos de ensino, nos termos da teoria didática de Chevallard [5], a partir de um modelo de análise que esta teoria disponibiliza. Este modelo identifica a presenga, na agao humana, de 04 elementos principais os quais forma a sua praxeologia (sua estrutura lógica): os problemas ou tarefas, as técnicas de resolugao das tarefas, as tecnologias que justificam, explicam e produzem as técnicas, e as teorias, que possuem o mesmo papel em relagao ds tecnologias, de explicagao, justificagao e produgao. Segundo o mesmo autor, ao se desenharem atividades didáticas, é importante que estas veiculem o saber em sua estrutura integral, sendo necessário para isto que os seus elementos estejam explicitados e selecionados previamente.

Segundo Scott Chase [8], pág. 662, uma análise visando d adogao de práticas didáticas nas escolas de arquitetura a partir do uso de ferramentas computacionais, passa pela questao chave da integragao

A integragao é a palavra-chave para o desenvolvimento de novos currículos do CAAD. Dada d pedagogia arquite-tónica tradicional, a implementagao pode ser difícil. Um dos principais objetivos é permitir que os alunos vejam a releváncia da computagao para o processo de design e assegurem que ela seja utilizada adequadamente

O autor se refere d abordagem tradicional da represen-tagao e do desenho no ensino de arquitetura que pouco investe na integragao entre ferramentas computacionais e processo de projeto, no sentido de exploragao destas para a agao projetual em si. Nesse contexto, a adogao nos últimos anos de iniciativas em projeto paramétrico veio desafiar os docentes para a conscientizagao da necessidade de novas estratégiad didáticas, que possibilitem tal integragao entre vários campos de conhecimento.

Marc Aurel Schnabel [8] pontua que "a educagao do CAAD tem que estimular o interesse no projeto arquitetó-nico e, mais importante, estabelecer um mecanismo para controlar e melhorar a qualidade do projeto produzido com a ajuda da mídia digital" (pág. 664). Modelos e escanea-mentos tridimensionais, ambientes virtuais e prrototipagem rápida sao usados no atelier para auxiliar estudantes e professores a explorar e estudar a criatividade arquitetónica de forma a permitir um envolvimento mais profundo em questoes de design.

Pode-se concluir que o autor se refere d manipulagao de modelos direcionada a predigao e avaliagao realizada computacionalmente durante o processo de projeto, integrada uma base teórica que o projetista precisa conhecer.

Kvan [8], pág. 667, destaca, neste contexto, "o papel da arquitetura como conhecimento, em que os docentes pode-riam ver a maneira de ensinar como recolha e manipulagao deste conhecimento".

Em todas estas abordagens pode se reconhecer a pre-ocupagao de explicitar o elevado grau de complexidade que o projeto de arquitetura incorpora paralelamente com a apropriagao de tais tecnologias pelos estudantes.

Kvan et al.. [9] destacam que, em vez de um ensino focado em um conjunto de técnicas de modelagem e de renderizagao, deveriam ser aplicadas atividades estratégicas que demonstrem o impacto de tais técnicas para a compreensao de como os projetos podem ser visualizados e processados para suportar o pensamento de projeto.

Os mesmos autores também destacam que, se por um lado estas atividades aumentam a criatividade e a intuigao através de ambiguidades e abstragoes, por outro lado, cap-turam e controlam a complexidade, além de proporcionar precisao dimensional baseada em materiais físicos reais.

Para os autores, no momento em que os estudantes avangam para os níveis superiores de um programa de projeto, sua capacidade de aproveitar essas técnicas pode crescer em complexidade com a natureza dos problemas de design que emergem. Os autores exemplificam que uma maior sofisticagao na modelagem e na análise geométrica pode acompanhar a resolugao de problemas de projeto mais articulados e tectónicamente avangados no atelier de projeto. Outra questao a destacar negativamente é o nao incentivo a exercitar habilidades de pensamento tridimensional da geometria descritiva, e perceber os meios de projeto digital como dispositivos unicamente de representagao.

Materiais e métodos

O presente estudo tem um enfoque didático amparado nas teorías de Chevallard: a Teoria da Transposigao Didáti-ca [10] e a Teoria Antropológica da Didática [4]. Conforme já mencionado, este autor destaca os elementos de um saber que devem ser considerados em processos de ensino e aprendizagem, com vistas a uma transposigao didática de tal saber. Tendo por base tais teorias, identificou-se que a natureza descritiva da modelagem algorítmica, que exige reconhecer elementos teóricos, técnicos e tecnológicos, pode potencializar a explicitagao do saber da geometria complexa das estruturas regenerativas empregadas na arquitetura. O reconhecimento de processos de modelagem paramétrica desenvolvida em linguagem de programagao visual por meio do plug-in Grasshopper junto ao software Rhinoceros, ao integrar a linguagem algorítmica em uma abordagem descritiva e visual, pode ser considerado como uma estratégia didática no ensino de arquitetura.

A modelagem paramétrica introduz também maiores possibilidades para a definigao de geometrias complexas, a geragao de instancias de projeto e a avaliagao destas instancias, por ser um processo de representagao baseado em um sistema que armazena todos os dados relacionados á geometría do objeto que está sendo criado e representado e permite fazer relagoes entre estes dados. A escolha pela modelagem com linguagem de programagao visual e descritiva também se justifica pelo fato de que ainda nao se conta nos cursos de arquitetura com a insergao da linguagem pura de programagao, exclusivamente por meio do uso de scripts.

A finalidade do reconhecimento de uma estrutura integral do saber que envolve tais geometrias é dar subsídios aos próprios docentes para a estruturagao de situagoes didáticas e aos estudantes para tornarem-se conscientes de suas escolhas e proposigoes projetuais, além do uso adequado e nao de modo gratuito da liberdade formal no projeto de arquitetura.

Dessa maneira, o estudo refere-se ás etapas de re-conhecimento e explicitagao das estruturas de saber que envolvem a geometria complexa da arquitetura contem-poranea, a partir do estudo de casos referenciais, como os que empregam superfícies mínimas na arquitetura e a proposigao de processos de modelagem paramétrica destas. Para este trabalho em particular, foram desenvolvidas as seguintes etapas:

1.    Selegao de uma obra de arquitetura com geometría de superficie mínima obtida por meios físicos. A obra selecionada foi identificada nos estudos de Burry & Burry [11], os quais sistematizaram um conjunto de conceitos matemáticos extraídos de obras da arquitetura contemporánea;

2.    Reconhecimento dos discursos que explicam a obra a partir de descrigoes da sua geometría. Nesta etapa, com o objetivo de reconhecer a obra em seus aspectos geométricos e arquitetonicos, analisaram-se os discursos de Burry & Burry [11] que descrevem um conjunto de obras de arquitetura a partir dos conceitos matemáticos subjacentes a suas geometrías. Estes autores apresentam tais conceitos articulando-os com os atributos arquitetonicos em termos formais e de desempenho, visando fundamentar tais propriedades das formas geométricas das obras estudadas.

3.    Explicitagao e ampliagao dos conceitos reconhecidos nos estudos de Burry & Burry. Nesta etapa, com base na Teoria Antropológica da Didática [4], buscou-se explicitar, a partir de autores advindos da Matemática, da geometría descritiva e do campo da Física, as estruturas de saber envolvidas em tais geometrias e nos conceitos apresentados pelos autores anteriormente citados;

4.    Estruturagao de processos de modelagem paramétrica de tais superfícies, por meio da linguagem de programagao visual, disponibilizada pelo plug-in Grasshopper junto ao software Rhinoceros.

5.    Estruturagao de uma rede de conceitos que abarca a estrutura integral do saber relacionado ás superficies mínimas empregadas na obra Main Station Stuttgart. Tal estrutura de saber envolve as teorias subjacentes ás superficies mínimas (que possibilitam explica-las do ponto de vista tecnológico), as técnicas de modelagem de tais superficies e as tecnologias (que incorporam discursos racionais sobre as técnicas de modelagem empregadas, justificando-as e explicando-as).

Análise da estrutura de saber que envolve a geometria do Main Station Stuttgart

A obra selecionada para o estudo em questao é o Main Station Stuttgart, de Igenhoven Architects (Figura 1), configurada por uma superficie mínima [5] obtida fisica-mente por meio de modelos em suspensao [2] [3]. Na obra, esta superficie foi utilizada com o objetivo de configurar espatos continuos e, ao mesmo tempo, obter uma solugao de otimizagao estrutural por intermédio do uso de uma casca de concreto no formato de um 'cálice' (modelo de referencia do arquiteto alemao Frei Otto, 1966).

Uma análise preliminar sobre a obra e a superficie empregada é dada em Burry & Burry [11], por meio de descrigóes textuais. Na sequencia, é adotado o método de ampliagao das estruturas de saber identificadas em tais descrigoes, a partir de autores específicos da matemática e engenharia. Logo, estruturam-se os processos de modela-gem paramétrica da superficie e discute-se qual o potencial destes para o ensino de arquitetura.

No enfoque da teoria didática adotada, o reconhecimen-to de estruturas de saber é uma etapa prévia a estruturagao de situagoes e materiais didáticos, válida para qualquer contexto educativo, o que justifica o método adotado neste estudo.

A caracterizagáo de uma obra de arquitetura com superficie mínima

A construgao da obra Main Station Stuttgart abrangerá plataformas ferroviárias de 420 metros de comprimento e conectará as zonas urbanas de pedestres com o histórico parque Schlossgarten (Figura 1, á direita). Sua geometría estrutural (Figura 1, á esquerda) foi desenvolvida em estreita colaboragao interdisciplinar entre o escritorio de arquitetura, engenheiros civis e em conjunto com Frei Otto. A estrutura é uma casca continua, formada por 28 orificios, que proporcionam luz e ventilagao natural na estagao de metro. Além disso, o tipo de geometría da cobertura da estagao é de carga altamente eficiente, atuando apenas em compressao. Os aspectos de sustentabilidade também foram pensados no projeto da obra: é uma estagao de energia zero, em que está previsto quase nenhum consumo de energia primária. Aquecimento, arrefecimento e iluminagao serao todos naturais. Para o arquiteto, neste projeto, o objetivo de traduzir a nova era no transporte ferroviário em uma forma contemporánea foi alcangado pelas qualidades de engenharia interdisciplinar e virtudes de design [12].

As descrigdes sobre a obra por autores que analisam arquitetura

A proposta da nova estagao integra o plano diretor de Stuttgart 21, sendo um edificio disposto a 90° da estagao existente, orientado para novos tuneis ferroviários. O seu salao monumental seria construido abaixo do solo, para que parte deste fosse utlizado pela populagao, com espagos verdes [11].

O ámago do projeto é o emprego de uma superficie mínima encontrada fisicamente, mas que também é descrita e compreendida matematicamente, com o propósito de abar-

Figura 1: Main Station Stuttgart, projeto Ingenhoven Architects.

Fonte das imagens: https://www.lafargeholcim-foundation.org/ projects/main-station-stuttgart-germany http://www.bahnprojekt-stuttgart-ulm.de/en/details/new-stations/stuttgart-main-station/archi-tecture/

car simultaneamente dois problemas: a economia estrutural e material; e a provisao de luz e ar para o enorme espago subterráneo, sem criar consumo de energia significativo ou poluigao de carbolno [11]. A dimensao do salao principal é de 420 m x 80 m, podendo abrigar até 300 mil passageiros.

O tipo de superficie mínima da obra se forma em torno de um orificio (denominado de 'olho'), no qual existe um fluxo suave de tensoes de tragao. A superficie minima se conforma em uma unidade protótipa com o formato de um funil e cálice, que possui a fungao combinada de telhado, suporte vertical e abertura para o céu [11].

A explicitagáo da estrutura de saber

A superficie minima descrita no relato anterior é conformada por meio de modelos deformáveis que sao submetidos a forgas de tensao e relaxamento, denominados de 'modelos de catenária'. Tecnicamente, uma superficie minima é aquela que possui valor de curvatura total oposta igual á zero em todos os seus pontos [11], obtendo equilibrio estável [7].

Existem duas superficies curvas tradicionais que também sao minimas: o helicoide e o catenoide (Figura 2), os primeiros exemplos, exceto o plano, encontrados pelos matemáticos, no século XVIII, logo após os primeiros estu-dos de Lagrange relacionados a problemas com superficies minimas, em 1760, mesmo ano em que Euler estabeleceu o conceito de curvaturas [7].

O catenoide é gerado pela varredura de uma curva catenária ao longo de um eixo e o helicoide é gerado pela rotagao e translagao simultánea de uma linha [13], as duas

Figura 2: Superficies mínimas encontradas matemáticamente, da esquerda para a direita: Catenoide, Helicoide, Superficie de Enneper e Superficie de Costa.

Fonte das imagens: https://www2.le.ac.uk/departments/mathe-matics/extranet/staff-material/staff-prof¡les/kl96/stuff/lopez-ros-deformation-of-the-catenoid/view; http://www.daviddarling.info/ encyclopedia/H/helicoid.html; http://www.indiana.edu/~minimal/maze/ enneper.html; http://www.eg-models.de/models/

superficies ilustradas a esquerda da Figura 2. Outros exem-plos descobertos matemáticamente incluem as superficies de Enneper, em 1864, e a recente superficie de Costa (a direita da Figura 2), em 1982, matemático brasileiro que, com seus estudos, veio a impulsionar, no século XX, o avan?o da teoria de superficies minimas [7].

Experimentos com bolhas de sabao, desenvolvidos por Plateau, no século XIX, inspiraram arquitetos do século XX ao estudo com modelos físicos de superficies mínimas, denominados de 'modelos de catenárias' [11]. As catenárias sao curvas que se configuram a partir de cabos ou hastes deformados sob a a?ao da gravidade, gerando uma forma (arco) que atua em pura compressao (Figura 3), da mesma maneira que uma superficie mínima. Os modelos e estrutu-ras que se configuram a partir deste conceito sao também denominados de 'modelos ou estruturas funiculares' [2] [3].

Conceitualmente, uma estrutura funicular pode ser definida como uma estrutura que pode alcan?ar o estado de equilibrio adotando um mecanismo de forma "correta" (forma / geometría) correspondente as cargas aplicadas [14]. Essa forma "correta" é referida como a "geometría funicular". A geometría funicular é, portanto, a geometría de uma estrutura funicular [14]. Perez e Garcia [2], citando trabalhos de Frei Otto com superficies minimas, referem-se as estruturas funiculares encontradas na natureza e entre estas destacam as conchas e tendas como principios estruturais que sao aplicados na arquitetura. Para estes autores, ambas sao estruturas de forma ativa por terem a capacidade de carga por sua configurafao espacial, trabalhando em regime axial.

Figura 3: Arcos Catenários aplicados em pontes.

Fonte: A. desenhado por Poleni 1748 in HUERTA (2006, pág. 325); B. Young 1807 in HUERTA (2006).

A idealiza?ao de Hooke, em 1671, sobre arcos estáveis, obtidos a partir da curva catenária, levou diretamente ao uso de modelos simples pendurados para projetar e calcular [15]. Isto pode ser exemplificado pelos arcos que os engenheiros ingleses do século XIX, notavelmente John Robison, construiram fazendo uso desta técnica; outro exemplo apontado pelo autor é o de modelos pendurados para dimensionar os contrafortes de uma igreja na Aleman-ha utilizados por Hübsch [15].

No final do século XIX e inicio do século XX, Gaudi utilizou este método para configurar seus arcos e estruturas funiculares, especialmente para as obras Colonia Güell e Sagrada Familia. Huerta (pág. 325) reitera que Gaudi, no entanto, fez uso do conceito de arcos catenários de uma forma totalmente original: no sentido de integrar o projeto estrutural no processo de projeto arquitetonico [15]. Nao se tratava de verificar a estabilidade de um determinado desenho, e sim de projetar desde o inicio usando formas estáveis. O autor ressalta que "Tanto quanto sabemos, é a primeira vez que essa tentativa é feita e explorada a toda a sua capacidade" [15].

Os modelos de suspensao (Figura 4), além de terem sido utilizados na arquitetura por Gaudi, no processo de design da Cripta de Colonia Güell associados a métodos gráficos como ferramentas de design [3], também foram usados no século XX por Frei Otto e sua equipe para encontrar a forma para o Mannheim gridshell e Heinz Isler, que desenhou suas conchas de concreto com base em modelos de pano pendurado [16] [17].

Figura 4: Modelos funiculares empregados na arquitetura nos sáculos XIX-XX: na linha superior, modelos de Gaudi para a Colonia Güell (a esquerda) e Sagrada Familia (ao centro e a direita); na linha central, modelo de Frei Otto para o Mannheim Gridshell; e na linha inferior, modelos de pano de Heinz Isler. Fonte das imagens: https://www.quora. com/What-is-Funicular-geometry-What-is-its-significance-in-Structures-in-Architecture; https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S2214399815300011; Chilton e Chuang [17].

Para o projeto da estrutura da obra do Main Station Sttugart, Ingenhoven Architects desenvolveram um processo integrador, com muitos especialistas em planejamento e procedimentos. O principal objetivo construtivo era de minimizar a altura da estrutura do telhado enquanto seria alcanqada uma maximizaqao do espaqo livre interno do hall da estaqao. Com este fim, foram incorporados os resultados dos trabalhos em curso desde o ano de 1963 no Institute for Lightweight Shell Structures (Institut für leichte Flachentragwerke da Universidade de Stuttgart), de Frei Otto, em que as membranas de películas de sabao foram utilizadas para desenvolver superfícies com uma distribuiqao completamente uniforme de tensoes, conformando superfícies mínimas (Figura 5).

Ainda segundo os arquitetos da obra, em uma abor-dagem experimental, o módulo individual (em formato de olho e funil) juntamente com os suportes do funil e as paredes de calha foram desenvolvidos em modelos reais de corrente suspensa (Figura 6).

Em paralelo, houve um processo de busca de formas utilizando programas digitais com tecnologia CAD de superfícies de área mínima e os resultados de ambos os modelos foram comparados, para a configuraqao final do modelo de volume tridimensional do hall da estaqao. A geometria de dupla curvatura foi, ainda, otimizada e refinada a partir de cálculos baseados em elementos finitos¹ (ROK OFFICE, http://www. rok-office.com/projects/0990-stuttgart-21-parametric-fem/). Com esse fim, foram desenvolvidos algoritmos específicos para gerar modelos complexos de elementos finitos para análise estrutural, os quais puderam ser implementados em sotware CAD como ferramentas flexíveis, para gerar e modificar modelos complexos de malha.

Figura 5: - Modelos de superficie mínima e Modelo funicular de Frei Otto.

Fonte: https://www.archdaily.com.br/br/763770/pritzker-2015-frei-otto-e-a-importancia-da-experimentacao-na-rquitetura?ad_ medium=widget&ad_name=navigation-prev; https://www.archdaily. com.br/br/763720/video-frei-otto-experimentando-com-bolhas-de-sabao; https://archpaper.com/2015/05/frei-otto-1925-2015/; http:// www.bmiaa.com/frei-otto-thinking-in-models-the-biggest-exhibition-ever-on-the-german-master/; https://parametricsemiology.wordpress. com/2013/10/17/grp_06-session_01/

Figura 6: Modelo funicular (de corrente de suspensáo) proposto para o Main Station Stuttgart.

Fonte: http://architecturehabitat.blogspot.com.br/2010/10/final-submission.html

O método proposto para representar e analisar a geo-metria de superfície mínima

Representa9áo conceitual por curvas geratrizes e diretrizes e gera9áo da superficie entre as curvas.

Visando compreender conceitualmente os elementos geradores da superfície da obra, foi desenvolvido um modelo aproximado desta a partir da representaqao de curvas e geraqao da superfície por varredura e interpolaqao das curvas. Para tanto, inicialmente buscaram-se imagens da cobertura da obra e informales relevantes, tais como: se havia alguma descriqao explícita dos tipos de curvas envolvidas nesta geometria; e se havia alguma referencia a modelos digitais desenvolvidos para identificar os possí-veis processos de geraqao da superfície.

Nesta busca de informales, ao procurar-se na Internet pelas palavras-chave '3D model Main Station% encontrou-se a página que continha as informales e as imagens do modelo de Elementos Finitos desenvolvido pela empresa ROK. Tais imagens possuiam a vista superior do módulo básico que se repete ao longo da estrutura (hexagono marcado em cinza na parte inferior á esquerda da Figura 7). As imagens em perspectiva auxiliaram a compreender as curvas e o processo de geraqao da superfície e as apresentadas em Burry e Burry [11] e no site de Ingenhoven Architects possuíam as vistas ortográficas do projeto, sobre as quais foi possível mapear graficamente as curvas geratrizes (imagem com fundo preto na Figura 7).

Figura 7: Imagens do projeto da cobertura do Main Station Stuttgart. Fonte: ROK (http://www.rok-office.com/projects/0990-stuttgart-21-pa-rametric-fem/) e Ingenhoven Architects (http://www.ingenhovenarchi-tects.com/projects/more-projects/main-station-stuttgart/)

POR REVOLUQÁO DA CURVA GERATRIZ - Programado ¡nteira

Primeira superficie Hexágono de límite superior

Segáo da superficie pelo polígono

Superficie por Revoluto da geratriz

Curva livre

A análise sobre as imagens em vista superior, vistas ortográficas e perspectivas foi essencial para identificar e delinear graficamente o módulo básico estrutural e as gera-trizes e diretrizes que geram as superficies. Identificaram-se duas por$oes distintas de superficies: uma superficie uniforme (superficie 1), na qual é possível distinguir um único tipo de curva geratriz em sua geometria, e uma superficie com dois tipos de curvas geratrizes (superficie 2), apoiadas em diretrizes circulares (Figura 8).

Figura 8: Analise geométrica: identificagao das geratrizes e diretrizes da superfície do Main Station Stuttgart.

Fonte: Elaborado própria a partir das imagens de ROK (http://www. rok-office.com/projects/0990-stuttgart-21-parametric-fem/)

A análise sobre imagens da obra, em vista superior e frontal, também teve o objetivo de identificar as circunferencias diretrizes da superfície (em vermelho), o ángulo definido nos arcos de circunferencia sobre o qual ocorre o movimento circular das curvas geratrizes e as curvas geratrizes (em amarelo e azul nas mesmas Figuras). As alturas dos arcos diretrizes ficam definidas pelos pontos inicial e final das curvas geratrizes.

A partir destas análises foi possível delimitar um algoritmo de modelagem paramétrica, para cada uma das superfícies: A superfície 1 pode ser gerada pela varredura de uma única curva sobre a diretriz circular (processo de revolu$áo); e a superfície 2 gerada por duas geratrizes curvas apoiadas em uma diretriz circular (varredura de curvas interpoladas ao longo de um arco). Ambas as superfícies sáo delimitadas por um contorno hexagonal (polígono de seis lados), o que pode ser obtido por se$oes sobre as superfícies.

O algoritmo correspondente a superfície 1 e o processo de modelagem paramétrica estáo ilustrados na Figura 9, considerando-se 04 etapas de desenvolvimento: a representa$áo da curva geratriz; a revolu$áo da curva em torno de um eixo que passa pelo centro da superficie; a representafáo do hexágono de limite superior; e a se$áo da superfície pelo hexágono.

Figura 9: Algoritmo e modelagem paramétrica da superfície 1 do módulo básico da cobertura do Main Station Stuttgart.

Fonte: Elaborado própria.

A superfície 2 é definida por duas geratrizes iguais localizadas em simetria polar (rota$áo em torno do ponto central da superfície) e uma geratriz de configura$áo diferente, que se encontra na posifáo intermediária das geratrizes anteriores. As geratrizes extremas podem ser obtidas por extrafáo das geratrizes que configuram a borda da superfície 1, sendo por$oes destas curvas. A geratriz intermediária pode ser obtida pelo desenho diretamente sobre a imagem da obra e a leitura de seus pontos de controle no ambiente de modelagem paramétrica, com posterior representa$áo de uma curva livre interpolada por tais pontos.

O algoritmo com as etapas de representa$áo das curvas e a gera$áo da superficie, assim como o processo de modelagem paramétrica estáo ilustrados na Figura 10, considerando-se 6 etapas para o seu desenvolvimento.

Para gerar a totalidade da estrutura foi aplicado um processo compositivo por simetrias de transla$áo do módulo básico em x e y (Move) e por simetrias múltiplas em x e y dos módulos resultantes da primeira translafáo, as quais sáo representadas por meio de 'matrizes lineares' (Linear array). A composifáo final é obtida por aplicafáo de translafoes simultáneas em x e y dos dois módulos.

A Figura 11 ilustra um esquema gráfico e a progra-ma$áo visual destas etapas de modelagem paramétrica.

A Figura 12 apresenta as imagens do modelo paramétrico resultante, em vista superior e em perspectivas, com tomadas em aproximafoes do ponto de vista visando facilitar a percep$áo da geometria do modelo final obtido.

POR VARREDURA DAS SEQOES AO LONGO DAS DIRETRIZES

1. Representado das curvas llvres 1 e

3 geratrizes da superficie 2

2. Representado da curva livre 2

geratriz da superficie 2

3. Representado do Arco diretriz superior

4. Representado do Arco diretriz inferior

Geratriz 3

5. Superficie por varredura

Superficie 2

Sedo da superficie pelo hexágono superior

Figura 10: Algoritmo das etapas de modelagem paramétrica da superficie 2 da cobertura do Main Station Stuttgart e correspondente modelagem paramétrica.

Fonte: Elaborado própria.

Composigáo por simetria de translagáo do módulo básico em XY

Secao da

superficie pelo

polígono

Jungáo das superficies

Translagáo de um módulo em xy

Segáo da superficie pelo polígono

Figura 12: Modelo final paramétrico da cobertura do Main Station Stuttgart.

Fonte: Elaboragao própria.

Selegao de um Item

da segao (Item*)

Lista de itens (L)

Item da lista (i)

Translado

(Move*)

Geometría para

transladar (G)

translagao (C)

Superficies

vetor

A verificado das curvaturas da superficie pode ser feita com o componente de análise de curvatura disponível no ambiente de programado visual, para avaliar o comporta-mento que caracteriza uma superficie mínima, dado pela curvatura média (M) igual á zero em todos os pontos da superficie. Uma maneira mais intuitiva é avaliar a curvatura diretamente no software Rhinoceros, após exportar a geometría da programado para o ambiente deste software.

Na Figura 13 é possível observar a presenta de curvaturas variáveis e poucos pontos com curvatura média igual a zero absoluto, os quais ocorrem próximos á regiao planar da superficie. Isto se deve a nao precisao do modelo digital em relado ao modelo real do Main Station Stuttgart, o qual foi obtido por meio de experimentagóes físicas.

Geragáo da\

Composigao em X e Y por matrizes lineares do modulo básico

Componentes Dados de Entrada

A geometría

base (G)

As superficies

origináis unidas e

Matriz

linear

(ArrLinear)

Vetores de

diregao (D)

Numero de

copias (N)

VetorX

VetorY

diregaox

2 pa ra a

diregaoy

Matrizes lineares (copias em x e y)

Matriz em

Figura 11: Algoritmo da etapa de modelagem paramétrica da simetria de translagao da cobertura do Main Station Stuttgart e das simetria lineares para compor a totalidade da estrutura.

Fonte: Elaboragao própria.

Figura 13: Análise de curvatura do modelo paramétrico da cobertura do Main Station Stuttgart.

Fonte: Elaboragao própria.

 

Exploragóes adicionais podem ser feitas como a definido precisa das curvas geratrizes das superficies 1 e 2. No entanto, tais exploragóes exigem um reconhecimento específico dos tipos de curvas que conformam tal superficie. De outro modo, modelos obtidos a partir de simu-lagóes físicas, executadas empregando-se plug-ins que se integram á programado visual, podem auxiliar na análise, mapeamento e extragao de tais curvas para um estudo mais aprofundado e a representagao fidedigna de tal superficie.

Tais estudos nao fazem parte do escopo deste trabalho, mas experimentos nesta diregao já estao em curso no ámbito da pesquisa, com o propósito de avangar e ampliar os resultados obtidos até entao.

A estruturagáo do saberA estrutura do conteúdo

Com o propósito de sistematizar o saber envolvido em tal superficie, a estrutura de saber relativa ao conteúdo foi organizada a partir dos conceitos mais gerais para os conceitos particulares, incluindo duas classes principais: geometria e modelagem paramétrica. (Figura 14).

Esta estrutura se organiza em torno da(s): descrigoes apresentadas por Burry e Burry [11] para a obra e sua superficie geométrica; descrigoes dos mesmos autores para os conceitos de Superficie Mínima e Modelos de Catenária; imagens da obra disponibilizadas pelo escritó-rio do arquiteto e por Burry e Burry [11]; ampliagao das estruturas de saber a partir dos conceitos geométricos e da arquitetura relacionados com a superficie da obra e a partir da modelagem paramétrica de tal superficie. Estes blocos integram o primeiro nivel da estrutura da rede de conceitos.

A ampliagáo das estruturas de saber para a didática em arquitetura

A partir do método adotado, reconheceu-se o conceito de 'modelos de catenária' e de 'modelos funiculares' e o histórico da evolugao destes conceitos em sua aplicagao na arquitetura. Na estrutura de conceitos proposta, estes temas foram considerados como fundamentos geométricos da superficie em questao, porque as estruturas de saber que foram explicitadas explicam como se dá o funcionamento estrutural de tais modelos e a lógica de seu desempenho funcional na configuragao de geometrias com caracteris-ticas de superficies mínimas. Também foram inseridas estruturas de saber específicas sobre a teoria de superficies minimas, porque estas estao relacionadas com a caracte-rizagao dos modelos funiculares em geral. A associagao entre os conceitos também é importante de um ponto de vista geométrico, pela abordagem matemática relativa á característica da curvatura destas superficies.

Outra abordagem importante e que foi considerada nesta ampliagao de estruturas de saber para o ensino de Arquitetura é da Arquitetura regenerativa, que possui as-sociagao direta com a proposigao de modelos geométricos voltados ao desempenho, imitando as funcionalidades dos modelos da naturaza. Estruturas concebidas nesta abordagem e complementadas com materiais e sistemas cons-trutivos que possibilitem obter uma relagao de equilibrio energético com o meio ambiente em que se inserem, tem grande potencial para avangar em concepgoes regenerativas na arquitetura.

Na caratcterizagao da geometria do modelo funicular da estagao de trem estao incluidos elementos de saber que possibilitam compreende-la de maneira mais explícita, de modo a facilitar a modelagem paramétrica. Esta por sua vez se fundamenta na (o): análise da superficie, sua carac-terizagao quanto aos tipos de curvas geratrizes e diretrizes e a identificagao de seus parámetros geométricos, sua descrigao gráfica e o algoritmo de modelagem, e, por fim, delineamento de suas etapas. A rede completa de conceitos está disponível em (retirado para a revisao ás cegas).

Figura 14: A estrutura da rede de conceitos da geometria e modelagem paramétrica da estagao de trem de Stuttgart. Fonte: Elaborado própria.

 

 

Resultados e Discussao

A geometría funicular reconhecida neste trabalho é no-tadamente utilizada na arquitetura em processos projetuais que buscam a otimizagao estrutural da forma a ser construida como também para alcangar funcionalidades e estética. Os problemas de otimizagao, em uma perspectiva de design que integre estética e requisitos funcionais, pertencem a uma área problemática, difícil e complexa [13]. O que pode estar relacionado com o fato de algumas geometrias complexas da arquitetura contemporánea ser desenvolvidas com um apelo exclusivamente formal e estético.

Aliar a estética, a forma, o espago e a fungao em uma proposigao arquitetonica global e coerente foi o objetivo dos arquitetos do passado, citados anteriormente, e outros tais como Frank Lloyd Wright, Louis Henri Sullivan e Rudolf Steiner. As estratégias holísticas prosperaram nesse sentido com inspiragao tanto nas formas naturais como em processos naturais [18]. Especialmente por meio das estru-turas de tragao e das conchas finas de concreto armado Frei Otto e Felix Candela, extraíram conceitos de construgao e de estrutura, inerentes aos principios naturais e biológicos.

Os modelos experimentais baseados no funcionamento das estruturas da natureza (modelos funiculares ou de superficies mínimas) de Gaudi e Frei Otto trouxeram novos desenvolvimentos para arquitetura, influenciando arquitetos do presente e oferecendo possibilidades futuras. A arquitetura contemporánea apresenta exemplos do emprego destes modelos, principalmente quando o foco é a 'arquitetura regenerativa' [19].

Identifica-se desta maneira, a necessidade de, no contexto educativo de arquitetura, tratar da relagao entre forma e estrutura a partir do conhecimento e experimentagao com modelos funiculares desenvolvidos ao longo da história, também denominados de 'modelos de construgao'.

D'Arcy Thompson foi o primeiro a desenvolver pesquisas na área denominada de morfologia estrutural, definida como o estudo da forma em relagao ás vias de forgas que transitam nos elementos estruturais, os quais materializam o fluxo de forgas [20]. A forma, assim vista como conse-quéncia de deformagoes físicas, definida por leis e forgas naturais, como tensao superficial ou gravidade, principio que é ainda hoje aplicado pelos arquitetos. O modelo de forma/forgas pode ser entendido como 'modelos renovados de conhecimento' e do processo de design, em nivel cognitivo e operacional, os quais evoluiram para modelos construtivos e experimentais [18].

A compreensao da arquitetura contemporánea sob o aspecto morfológico pode trazer uma reconciliagao entre a forma e estrutura, a construtibilidade, modelos cogni-tivos, operacionais e experimentais, além de conceitos geométricos e arquitetonicos importantes de serem tratados no contexto de formagao em arquitetura. Dessa maneira, a didática arquitetonica pode ser favorecida ao tratar de modelos geométricos funiculares que possuam processos de geragao conhecidos, em detrimento ao emprego de formas livremente obtidas com auséncia de propriedades de desempenho arquitetonico.

Haveria um ganho consideravelmente qualitativo pelas propriedades funcionais particulares que estes modelos apresentam. A questao é que, no ensino de arquitetura, é dado muito mais interesse aos processos intuitivos de obtengao das formas do que ao estudo sobre a geometria que as define como conhecimento de projeto.

Se por um lado, o estudo possibilitou compreender em um nivel mais profundo o tipo de superficie adotada na es-tagao de trem de Stuttgart, por outro lado, a sistematizagao de processos de modelagem paramétrica das geometrias as-sociadas ás estruturas naturais, exigiu identificar estruturas de saber relacionadas ás teorias e técnicas que possibilitam representar as geometrías de superficies minimas. As teo-rias trouxeram novas estruturas de saber para uma maior compreensao de tais superficies, principalmente no ámbito da matemática e geometria, da representagao gráfica digital e do ensino de arquitetura.

Conforme mencionado no referencial teórico, a expli-citagao de tais estruturas de saber é essencial para fundamentar o desenho de situagoes didáticas para arquitetura com foco na geometria complexa e em sua modelagem paramétrica. Além disso, possibilitam aos estudantes terem uma maior compreensao dos processos de geragao de tais geometrías e das agoes projetuais dos arquitetos que as propoem em seus edifícios, vindo a refletir sobre seus próprios processos projetuais de maneira consciente.

O reconhecimento de tais estruturas de saber apontou também a necessidade de detalhar em um nível mais profundo algumas caracterizagoes apresentadas pelos autores de referéncia. Principalmente quanto aos tipos de curvas diretrizes e geratrizes de tais superficies e os processos compositivos que estas possuem. Embora as representagoes propostas nao abordem saberes mais específicos do cálculo matemático e da fisica, os quais envolveriam álgebra, fungoes ou descrigao paramétrica de curvas, e a lógica de programagao, a explicitagao geométrica de tais superficies trouxe o reconhecimento de seus entes geométricos elementares.

Conclusao

A partir do estudo desenvolvido, foi possivel com-preender que o conhecimento sobre superfícies mínimas, especialmente as configuradas por modelos físicos, identificadas como recorrentes em exemplares da arquitetura contemporánea, configura-se uma estratégia didática importante para o ensino de projeto atual. Isto se deve a estas estarem estritamente relacionadas ao funcionamento das estruturas encontradas na natureza, permitindo aprender sobre a morfología ótima, a integragao funcional e eficiencia, atributos relacionados com a sua geometría [18].

Pottmann et al. [13] destaca que a realizagao de uma ideia de design de forma ótima é uma tarefa difícil e complexa, principalmente por sua formulagao matemática e algorítmica, ainda mais tendo que levar em conta requisitos funcionais. O autor reitera que as abordagens centrada em curvas, superficies e malhas muito bem conhecidas podem ser tomadas como possiveis solugoes de problemas de otimizagao, os quais sao associados diretamente ás super-fícies mínimas, merecendo atengao, de uma perspectiva arquitetonica. Além da abordagem de curvas e superficies, os modelos físicos que conformam superficies mínimas ao serem estudados nesta perspectiva integrados a simulagoes digitais paramétricas por atuagao de forgas, permitem tratar com a relagao entre forma e estrutura.

Como pesquisa futura e que se encontra em desenvol-vimento no presente momento é ampliar o desenho de situagoes didáticas para além dos modelos aproximados de superfícies mínimas, buscando-se representar tais geometrias por meio de modelos geométricos fidedignos integrados á construgao de modelos físicos em suspensao. Estas atividades serao experimentadas em contextos de ensino do curso de Arquitetura e Urbanismo, na Univer-sidade (retirado para nao identificagao), e posteriormente avaliadas quando aos objetivos didáticos tragados.

A modelagem geométrica dos modelos em suspensao está sendo obtida por meio de simulagoes digitais que integram os tipos de forgas físicas a que tais superficies ficam submetidas e as propriedades do material. As etapas de simulagao digital destas condigoes e de conformagao do modelo geométrico da obra Main Station Stuttgart (que utiliza um modelo de corrente suspensa de Frei Otto) já estao concluídas, sendo que a próxima etapa da pesquisa é a de estruturar e aplicar as atividades didáticas que visam tal integragao entre simulagao e construgao física, aplicadas ao projeto de arquitetura.

Em relagao aos aspectos didáticos, visando á insergao no ensino de arquitetura, considera-se que a explicitagao das teorias e técnicas de modelagem paramétrica de tais geometrias provém uma base teórica e tecnológica de fundamentos para a concepgao da arquitetura direcionada as abordagens contemporáneas de design.

Agradecimentos

Agradecemos a Universidade [retirado para revisao ás cegas] pela oportunidade de desenvolver esta pesquisa em nivel de doutoramento e ao CNPQ por apoiar o des-envolvimento da rede [retirado para revisao as cegas], a qual oportunizou a disponibilizagao da rede de conceitos associada a esta pesquisa.

Referencias

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2.    Perez-Garcia, A.; Gómez-Martínez, F. Natural structures: stra-tegies for geometric and morphological optimization. Proceedings of the International Association for Shell and Spatial Structures (IASS) Symposium 2009, Valencia Evolution and Trends in Design, Analysis and Construction of Shell and Spatial Structures 28 Sept-ember - 2 October 2009, Universidad Politecnica de Valencia, Spain. Alberto DOMINGO and Carlos LAZARO (eds.         [ Links ])

3.    Rippmann, M. Block, P. Funicular Shell Design Exploration. Acadia 2013, Adaptive Architecture. 2013.         [ Links ]

4.    Retirado para a revisao ás cegas.         [ Links ]

5.    Chevallard, Y. El Análisis de las Prácticas Docentes en la Teoría Antropológica de Lo Didáctico. Recherches en Didactique de Mathématiques, Grenoble, Vol. 19, n° 2, pp. 221-266, 1999. (Traducción de Ricardo Barroso, Universidad de Sevilla). Disponivel em: <http://www. aloj.us.es/rbarroso/Pruebas/CHEVALLARD.PDF>         [ Links ]

6.    Woodbury, R. Elements of Parametric Design. London: Routledge, 2010.

7.    Carmo, m. p. Superficies Mínimas. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, 1987.

8.    Mark, E. Martens, B. Oxman, R. Preliminary stages of CAAD education. Automation in Construction 12 (2003) 661670662.

9.    Kvan, T. Mark, E. Oxman. R. Martens, B. Ditching the Dino-saur: Redefining the Role of Digital Media in Education. Disponivel em: http://www-2016.arch.virginia. edu/arch541/dinosaur.html Acesso em: dezembro 2016.

10.    Chevallard, Y. La Transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique Grupo Editor, 2013. 3^a ed. 4^a reimp. Titulo original: La trans-position didactique. Du savoir savant au savoir enseig-né. Grenoble: Pensée Sauvage, 2eme édition, 1991.

11.    Burry. J. Burry, M. The New Mathematics of Architecture. London: ed. Thames e Hudson, 2010.

12.    Main Station Stuttgart: Global project posters 2006. Disponí-vel em : https://src.lafargeholcim-foundation.org/dnl/ c8b222e5-9274-4e06-93d9-bf4a8e8dbd43/EU05_ OVGGG.pdf Acesso em: abril 2018.

13.    Pottmann, H. Asperl, A. Hofer, M. Kilian, A. Architectural Geo-metry. Exton, Pennsylvania: Bentley Institute Press, 1a ed., 2007.

14.    Kanaiya, M. What is Funicular geometry? What is its sig-nificance in Structures in Architecture? Uses geometry in architecture. 2013. Disponivel em: <https://www. quora.com/What-is-Funicular-geometry-What-is-its-significance-in-Structures-in-Architecture>

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16.    Chilton, J. The Engineer 's Contribution to Contemporary Architecture: Heinz Isler. London: Thomas Telford Press, 2000.

17.    Chilton, J. Chung, C. C. Rooted in Nature: Aesthetics, Geo-metry and Structure in the Shells of Heinz Isler. Nexus Network Journal, v. 19, issue 3, pp. 763-785, 2017.

18.    Stals, A.; Elsen, C.; Jancart, S.; Delvaux, F. Challenges in Tea-ching Architectural Morphogenesis. Learning x Design - The 3rd International Conference for Design Educa-tion Researchers. 2015.

19.    Littman, J. A. Regenerative Architecture: A Pathway Beyond Sustainability. Dissertagao de Mestrado. University of Massachusetts - Amherst. 2009. 68 p. Disponível em: <http://scholarworks.umass.edu/cgi/ viewcontent.cgi?article=1389&context=theses> Aces-so em: abril 2015.

20. Bertol, D. Form Geometry Structure: from nature to design. Exton, Pennsylvania: Bentley Institute Press, 2011.

¹

O Método dos Elementos Finitos (MEF) (Finite Element Method - FEM) é um procedimento numérico para determinar solugoes aproximadas de problemas complexos, em que o dominio de um problema é subdividido em partes menores, denominadas de elementos finitos.